Question

4．水平直线ab上方L处的P点有一个粒子源，可以向各个方向发射速度大小相同的带电粒子，粒子的电荷量为+q，质量为m．如果在ab上方区域存在垂直该平面向里、磁感应强度为B的匀强磁场，沿纸面水平向左射出的带电粒子恰到达Q点．如图所示，PC垂直于ab，QC=$\frac{L}{2}$．如果在ab上方区域只存在平行于纸面的匀强电场，沿不同方向发射的带电粒子到达ab边界时，它们的动能都相等，且沿水平向左射出的带电粒子也恰好到达Q点．不计带电粒子的重力（sin37°=0.6；cos37°=0.8），求：
（1）带电粒子的发射速率；
（2）匀强电场的场强大小和方向；
（3）当仅如上述磁场时，能射出磁场区域的带电粒子在磁场中运动的最短路程．

Answer 1

分析 （1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律可以求出粒子的速度．
（2）粒子在电场中做类平抛运动，应用类平抛运动规律可以求出电场强度．
（3）求出粒子转过的最小圆心角，然后求出粒子的最小路痴．

解答 解：（1）只加磁场时，粒子做匀速圆周运动，设粒子轨道半径为R，子运动轨迹如图所示：
由几何知识得：$\frac{PC}{PQ}$=$\frac{QA}{QO}$，
解得：R=QO=$\frac{5}{8}$L，
粒子做匀速圆周运动，洛伦兹力通过向心力，由牛顿第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得：v=$\frac{5qBL}{8m}$；
（2）只加匀强电场时，粒子到达ab直线的动能相等，则ab为等势面，则电场方向垂直ab向下，水平向左射出的粒子做类平抛运动，与ab平行方向：CQ=$\frac{L}{2}$=vt，与ab垂直方向：PC=L=$\frac{1}{2}$at²，
加速度：a=$\frac{qE}{m}$，
解得：E=$\frac{25qL{B}^{2}}{8m}$；
（3）只加磁场时，圆弧O₁经C点，粒子转过的圆心角最小，运动时间最短，对应的路程最小，运动轨迹如图所示：
由几何知识得：sinθ=$\frac{\frac{L}{2}}{R}$=$\frac{4}{5}$，
解得：θ=53；
最小圆心角：α=2θ=106°，
最短路程：s=$\frac{α}{360°}$×2πR=$\frac{53πL}{144}$；
答：（1）带电粒子的发射速率是$\frac{5qBL}{8m}$；
（2）匀强电场的场强大小为：$\frac{25qL{B}^{2}}{8m}$，方向：垂直ab向下；
（3）当仅如上述磁场时，能射出磁场区域的带电粒子在磁场中运动的最短路程为$\frac{53πL}{144}$．

点评 本题考查了粒子在电场与磁场中的运动，分析清楚粒子运动过程、应用牛顿第二定律可以解题，作出粒子运动轨迹、应用几何知识是正确解题的关键．