Question

1．质量为m的卫星与质量为M的中心天体的球心间距离为r时，卫星的引力势能可表示为E_P=-$\frac{GMm}{r}$，且其机械能E=E_k+E_p，其中E_k为卫星所具有的动能．已知卫星离中心天体的地面高度为h时，其所具有的机械能为-E₀，引力常量G、M、m均已知．求：
（1）该中心天体的球体半径；
（2）卫星围绕该中心天体做匀速圆周运动的最大环绕速度．

Answer 1

分析 （1）离地面高度为h时，根据万有引力提供圆周运动向心力求得卫星的动能，再根据机械能得到卫星在势能表达式，根据势能表达式求得该中心天体的半径；
（2）根据万有引力提供圆周运动向心力可知，当轨道半径与天体半径相等时卫星的环绕速度最大，据此求得最大速度即可．

解答 解：（1）离地面高度为h时，卫星距天体球心的距离r=R+h，根据势能表达式有：
${E}_{p}=-\frac{GMm}{r}=-\frac{GMm}{R+h}$
在离地h处，卫星圆周运动的向心力由万有引力提供，则有：
$G\frac{mM}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$
可得此时卫星的动能为：${E}_{k}=\frac{1}{2}m{v}^{2}=\frac{1}{2}•\frac{GMm}{r}$=$\frac{GMm}{2（R+h）}$
又此时卫星的机械能为-E₀，所以可得离地面h处卫星的势能为：
${E}_{p}=-{E}_{0}-{E}_{k}=-{E}_{0}-\frac{GmM}{2（R+h）}$
综上可知，卫星在离地面h处的势能为：
${E}_{p}=-\frac{GMm}{R+h}=-{E}_{0}-\frac{GMm}{2（R+h）}$
由此解得：R=$\frac{GMm}{2{E}_{0}}-h$
（2）卫星绕天体圆周运动万有引力提供圆周运动向心力有：
$G\frac{mM}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$
可得卫星的运行速度v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，即速度大小与卫星的轨道半径的平方根成反比，故当r=R时卫星具有最大环绕速度为：
${v}_{m}=\sqrt{\frac{GM}{R}}$=$\sqrt{\frac{GM}{\frac{GMm}{2{E}_{0}}-h}}$
答：（1）该中心天体的球体半径为$\frac{GMm}{2{E}_{0}}-h$；
（2）卫星围绕该中心天体做匀速圆周运动的最大环绕速度为$\sqrt{\frac{GM}{\frac{GMm}{2{E}_{0}}-h}}$．

点评 万有引的应用主要分为两大类，一是天体表面重力与万有引力相等，二是万有引力提供环绕天体圆周运动的向心力．能据此列式是解决此类问题的关键．