Question

如图所示，轨道ABCD的AB段为一半径R=0.2m的光滑1/4圆形轨道，BC段为高h=5m的竖直轨道，CD段为水平轨道．一质量为0.1kg的小球由A点从静止开始下滑到B点时速度的大小为2m/s，离开B点做平抛运动（g取10m/s²），求：
（1）小球到达B点时对圆形轨道的压力大小？
（2）如果在BCD轨道上放置一个倾角θ=45°的斜面（如图中虚线所示），那么小球离开B点后能否落到斜面上？如果不能，请说明理由；如果能，请求出它第一次落在斜面上的位置．

Answer 1

分析：（1）小球在B点时做的是匀速圆周运动，对小球受力分析，由向心力的公式可以求得小球受到的支持力的大小，在根据牛顿第三定律可以知道对圆形轨道的压力大小；
（2）小球做平抛运动，根据平抛运动的规律可以求得水平距离，与斜面的长度相对比，可以知道，小球将落在斜面上，再根据平抛运动的规律可以求得落在斜面上的位置．

解答：解：（1）小球在B处受重力G和向上的弹力F作用，由牛顿第二定律有：
F向=F-G=

mv2

R

，
解得：F=3N
由牛顿第三定律知球对B的压力F′=F，即小球到达B点时对圆形轨道的压力大小为3N，方向竖直向下．
（2）设小球离开B点做平抛运动的时间为t₁，落地点到C点距离为s
由h=

1

2

gt₁²
得：t₁=

2h g

=

2×5 10

s=1s，
则有：s=v_Bt₁=2×1 m=2 m
如图，斜面BEC的倾角θ=45°，CE长d=h=5m，因为d＞s，所以小球离开B点后能落在斜面上．（说明：其它解释合理的同样给分．）
假设小球第一次落在斜面上F点，BF长为L，小球从B点到F点的时间为t₂
Lcosθ=v_Bt²…①
Lsinθ=

1

2

gt₂²…②
联立①、②两式得：
t₂=0.4s；
L=

vBt2

cosθ

=

2×0.4

2 /2

m=0.8

2

m=1.13m
说明：关于F点的位置，其它表达正确的同样也行．

答：（1）小球到达B点时对圆形轨道的压力大小为3N，方向向下；
（2）小球离开B点后能落到斜面上．它第一次落在斜面上的位置L=1.13m．

点评：本题考查了圆周运动和平抛运动的规律，平抛运动可以分解为在水平方向上的匀速直线运动，和竖直方向上的自由落体运动来求解．