Question

3．一绝缘U形杆由两段相互平行的足够长的直杆PQ、MN和一半径为R的光滑半圆环MAP组成，固定在竖直平面内，其中MN杆是光滑的，PQ杆是粗糙的，现将一质量为m的带正电荷的小环（重力大于摩擦力）套在MN上．将小环由D点静止释放，如图所示．
（1）若小环带正电，小环所受电场力是重力的$\sqrt{3}$倍，则稳定后的一个周期内，通过的弧长？
（2）若小环带正电，小环所受电场力是重力的$\frac{\sqrt{3}}{3}$倍，则稳定后小环对轨道的最大压力？

Answer 1

分析 （1）小球刚好到达P点时，速度为零，对小球从D点到P点过程，运用动能定理列式求解x．
（2）设B点时压力最大，根据动能定理可明确B点的速度，再根据压力最大时，合力应沿径向方向列式，再联立向心力公式求得压力大小．

解答 解：（1）带电小环稳定后只在光滑半圆环中运动，并且在P点的速度为零，由于电场力大于重力，带电小环运动不到A点，设运动到半圆环右侧的最低点与圆心的连线和竖直方向的夹角为θ₁，由动能定理可得：mgRcosθ₁-qE₁R（1-sinθ₁）=0
由题意得：qE₁=$\sqrt{3}$mg，
联立解得：θ₁=$\frac{π}{6}$
一个周期内通过的弧长为：s=2×R（$\frac{π}{2}$-θ₁）=$\frac{πR}{3}$
（2）设带电小环运动到B点对轨道的压力最大，B点与圆心的连线与竖直方向的夹角为θ₂，对带电小环从P点运动到B点应用动能定理得：
mgRcosθ₂-qE₂R（1-sinθ₂）=$\frac{1}{2}$mv_B²
在B点沿切线的合力为零，即：mgsinθ₂-qE₂cosθ₂=0
在B点由牛顿第二定律得：F_N-$\frac{mg}{cos{θ}_{2}}$=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
由题意可知：qE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$mg，
联立解得：F_N=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$mg，
由牛顿第三定律可得带电小环对轨道的压力大小为$\frac{4\sqrt{3}}{3}$mg，方向背离圆心．
答：（1）若小环带正电，小环所受电场力是重力的$\sqrt{3}$倍，则稳定后的一个周期内，通过的弧长为$\frac{2π}{3}$R；
（2）若小环带正电，小环所受电场力是重力的$\frac{\sqrt{3}}{3}$倍，则稳定后小环对轨道的最大压力为$\frac{4\sqrt{3}}{3}$mg

点评 本题考查带电粒子在电场中的运动情况，要注意明确本题中小球还受到重力作用，应注意正确应用等效场进行分析求解．