Question

19．如图所示，质量分布均匀的小球，质量为m、半径为R；倾角α=45°的斜面体，质量为M，放置在水平面上．在水平推力作用下，使斜面体底角刚好与墙角接触．撤去推力后小球和斜面体均做匀加速直线运动，直到小球恰好落地．不计一切摩擦，重力加速度为g．
（1）求静止时，水平推力F的大小；
（2）试判断在撤去水平推力的瞬间，小球和斜面体之间的弹力是保持不变、突然增大，还是突然减小，并证明在撤去水平推力后，小球和斜面体做匀加速直线运动时加速度的大小相等；
（3）求撤去水平推力后，球着地瞬间斜面体的速度大小．

Answer 1

分析 （1）静止时，先分析小球的受力情况，由平衡条件求墙壁对小球的弹力，再对整体，运用平衡条件求F的大小．
（2）撤去水平推力后，小球和斜面体均做匀加速直线运动，根据几何关系求出它们的位移关系，再由位移时间公式证明加速度关系．
（3）撤去推力后，求出小球下降的高度，再根据系统的机械能守恒求球着地瞬间斜面体的速度大小．

解答 解：（1）对小球分析：受到重力mg、墙壁的弹力F₁、斜面体的支持力F₂．如下图所示．

对小球由平衡条件得到 F₁=mgtanα=mg
对整体整体平衡得到 F=F₁=mg
（2）在撤去水平推力的瞬间，小球和斜面体之间的弹力突然减小 
设在撤去水平推力后，小球和斜面体做匀加速直线运动的位移的大小分别是x_m和x_M，加速度的大小分别是a_m和a_M，则由几何关系可知
 $\frac{{x}_{m}}{{x}_{M}}$=tan45°
又 x_m=$\frac{1}{2}{a}_{m}{t}^{2}$，x_M=$\frac{1}{2}{a}_{M}{t}^{2}$
联立可得   a_m=a_M                     
（3）由几何关系得到小球的重心位置下降高度△h=2Rcos45°=$\sqrt{2}$R

撤去水平推力后：
“小球+斜面体”系统机械能守恒得：
  mg△h=$\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}$+$\frac{1}{2}M{v}_{M}^{2}$        
小球和斜面体之间的速度关系 v_m=v_Mtan45°               
解得 v_M=$\sqrt{2\sqrt{2}\frac{m}{M+m}gR}$
答：
（1）静止时，水平推力F的大小是mg．
（2）证明见上．
（3）撤去水平推力后，球着地瞬间斜面体的速度大小是$\sqrt{2\sqrt{2}\frac{m}{M+m}gR}$．

点评 本题涉及两个物体，首先要选好研究对象，对平衡问题，采用隔离法和整体法结合研究，比较简便．对两个物体都运动的情形，关键要分析出它们位移关系、速度关系和加速度关系．