Question

13．如图所示，两轻质弹簧a、b悬挂一质量为m的小球，整体处于平衡状态，a弹簧与竖直方向成30°角，b弹簧与竖直方向成60°角，a、b两弹簧的形变量相等，重力加速度为g，则（　　）

• A． 弹簧a、b的劲度系数之比为$\sqrt{3}$：1
• B． 弹簧a、b的劲度系数之比为$\sqrt{3}$：2
• C． 若弹簧a下端松脱，则松脱瞬间小球的加速度大小为$\sqrt{3}$g
• D． 若弹簧b下端松脱，则松脱瞬间小球的加速度大小为$\frac{g}{2}$

Answer 1

分析 对小球受力分析，受到重力和两个弹簧的弹力，根据平衡条件并运用合成法得到两个弹力之比，再结合胡克定律求解出伸长量之比，根据小球平衡由弹簧松脱得出弹力变化情况，再据牛顿第二定律分析加速度情况．

解答 解：由题可知，两个弹簧之间相互垂直，画出受力图如图，设弹簧的伸长量都是x：
A、由受力图知，弹簧a中弹力：Fa=mgcos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$mg，据胡克定律a弹簧的劲度系数为：k₁=$\frac{{F}_{a}^{\;}}{x}$=$\frac{\sqrt{3}mg}{2x}$；
弹簧b中弹力：Fb=mgcos60°=$\frac{1}{2}$mg，据胡克定律b弹簧的劲度系数为：k₂=$\frac{{F}_{b}^{\;}}{x}$=$\frac{mg}{2x}$所以弹簧a、b劲度系数之比为 $\sqrt{3}$：1．故A正确，B错误；
C、弹簧a中弹力为 $\frac{\sqrt{3}mg}{2}$，若弹簧a的左端松脱，则松脱瞬间b弹簧的弹力不变，故小球所受重力和b弹簧弹力的合力与F₁大小相等方向相反，故小球的加速度a=$\frac{{F}_{a}^{\;}}{m}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}g$．故C错误；
D、弹簧b中弹力为 $\frac{1}{2}$mg，若弹簧b的左端松脱，则松脱瞬间a弹簧的弹力不变，故小球所受重力和a弹簧弹力的合力与F₂大小相等方向相反，故小球的加速度a=$\frac{{F}_{b}^{\;}}{m}$=$\frac{1}{2}$g，故D正确．
故选：AD

点评 本题考查共点力平衡条件的运用，关键是作图，三力中两个力的合力一定与第三个力等值、反向、共线，知道一个弹簧弹力变化的瞬间，另一弹簧弹力保持不变．