Question

1．一个半径为R、半球形的光滑碗固定不动．碗口处于水平面内．
（1）若将质量为m的小球静止从碗口内侧释放，运动中能达到的最大速度多大？此时小球对碗的压力多大？
（2）若将质量为m的小球由静止从碗口内侧释放，从释放开始计时，t时间内重力的平均功率为$\overline{P}$，小球尚未到达碗底，求t时间末小球的瞬时速度多大？

Answer 1

分析 （1）由机械能守恒定律即可求解速度；根据向心力公式可求得压力大小；
（2）根据平均功率公式可求出高度，再由机械能守恒定律即可求解末速度．

解答 解：（1）由机械能守恒定律有：mgR=$\frac{1}{2}$mv_m²
解得：v_m=$\sqrt{2gR}$
F_N-mg=m$\frac{{{v}_{m}}^{2}}{R}$
得F_N=3mg  
由牛顿第三定律可知：
F_N′=3mg   
（2）平均功率$\overline{P}$=$\frac{mgh}{t}$
则有：
h=$\frac{\overline{P}t}{mg}$
由机械能守恒定律可知
mgh=$\frac{1}{2}$mv_t²
解得：t时间末瞬时速度v_t=$\sqrt{2gh}$=$\sqrt{2g\frac{\overline{P}t}{mg}}$=$\sqrt{\frac{2\overline{P}t}{m}}$
答：（1）运动中能达到的最大速度为$\sqrt{2gR}$；此时小球对碗的压力为3mg；
（2）t时间末小球的瞬时速度为$\sqrt{\frac{2\overline{P}t}{m}}$．

点评 本题主题考查了机械能守恒定律平均功率计算，要注意理解平均功率的公式，从而求出对应的高度是解题的关键．