Question

宇航员在某一未知星球表面完成下面实验：如图所示，在固定的竖直光滑圆弧轨道内部的最低点，有一质量为m的小球（可视为质点），现给小球水平初速度v₀，使小球在竖直平面内做圆周运动，测得小球在最高点和最低点时所受压力大小分别为F₁、F₂．然后他在携带的资料中发现这样的信息：在该星球赤道上有相距路程为L的A、B两位置，当某一时刻阳光垂直照射A处时，B处的阳光与星球表面成θ角．请你帮他完成如下计算：
（1）求出该星球表面的重力加速度；
（2）求出该星球的第一宇宙速度．

Answer 1

（1）由题意根据合力提供向心力：
在最低点：F1-mg=m

v02

r

在最高点：F2+mg=m

v2

r

根据机械能守恒得：

1

2

mv02=

1

2

mv2+mg2r

解得g=

F1-F2

6m

故星球表面的重力加速度为

F1-F2

6m

．
（2）根据A、B两点的日照情况可计算出该星球的半径R=

L

π 2 -θ

用v表示该星球的第一宇宙速度，有
      mg=m

v2

R

得v=

gR

=

F1-F2 6m ? L π 2 -θ

故星球的第一宇宙速度为

F1-F2 6m ? L π 2 -θ

．