Question

（2011?椒江区模拟）宇航员在某一未知星球表面完成下面实验：如图所示，在固定的竖直光滑圆弧轨道内部的最低点，有一质量为m的小球（可视为质点），现给小球水平初速度v₀，使小球在竖直平面内做圆周运动，测得小球在最高点和最低点时所受压力大小分别为F₁、F₂．然后他在携带的资料中发现这样的信息：在该星球赤道上有相距路程为L的A、B两位置，当某一时刻阳光垂直照射A处时，B处的阳光与星球表面成θ角．请你帮他完成如下计算：
（1）求出该星球表面的重力加速度；
（2）求出该星球的第一宇宙速度．

Answer 1

分析：（1）根据最高点和最低点时所受压力大小，由运动的过程中机械能守恒以及利用在最高点和最低点合力提供向心力，求出重力加速度．
（2）根据A、B两位置相距的路程及太阳光垂直照射A处时，B处的阳光与星球表面所成的角度，求出星球的半径，第一宇宙速度的轨道半径等于星球的半径，根据表面所受的重力提供向心力，求出第一宇宙速度．

解答：解：（1）由题意根据合力提供向心力：
在最低点：F1-mg=m

v02

r

在最高点：F2+mg=m

v2

r

根据机械能守恒得：

1

2

mv02=

1

2

mv2+mg2r

解得g=

F1-F2

6m

故星球表面的重力加速度为

F1-F2

6m

．
（2）根据A、B两点的日照情况可计算出该星球的半径R=

L

π 2 -θ

用v表示该星球的第一宇宙速度，有
      mg=m

v2

R

得v=

gR

=

F1-F2 6m ? L π 2 -θ

故星球的第一宇宙速度为

F1-F2 6m ? L π 2 -θ

．

点评：解决本题的关键掌握万有引力提供向心力和万有引力等于重力两知识点．以及知道圆周运动的最高点和最低点是合力提供向心力．