Question

1．如图所示，某一空间分布着有理想边界的匀强电场和匀强磁场．左侧区域匀强电场的场强大小为E，方向水平向右，电场宽度为L；中间区域匀强磁场磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外．右侧区域匀强磁场的磁感应强度大小为2B，方向垂直纸面向里，其右边界可向右边无限延伸．一个质量为m、带电量为+q的粒子（重力不计）从电场左边界上的O点由静止开始运动，穿过中间的磁场区域后进入右侧磁场区域，又回到O点，然后重复上述过程．求：
（1）带电粒子在磁场中运动的速率；
（2）中间磁场区域的宽度d；
（3）带电粒子从O点开始运动到第一次回到O点所用的时间t．

Answer 1

分析 （1）带正电的粒子在电场中加速，由动能定理可以求出粒子的速度；理即可求解带电粒子在磁场中运动的速率；
（2）粒子在磁场中由洛伦兹力充当向心力，由牛顿第二定律求出轨迹的半径．根据几何关系求解中间磁场区域的宽度；
（3）先求出在电场中运动的时间，再求出在两段磁场中运动的时间，三者之和即可带电粒子从O点开始运动到第一次回到O点所用时间．

解答 解：（1）带电粒子在电场中加速，由动能定理得：
qEL=$\frac{1}{2}$mv²，
解得：v=$\sqrt{\frac{2qEL}{m}}$；          
（2）粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得：
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得粒子轨道半径：R=$\frac{1}{B}$$\sqrt{\frac{2mEL}{q}}$，
两磁场的磁感应强度大小相等，粒子在两磁场中的轨道半径相等，粒子运动轨迹如图所示，
三段圆弧的圆心组成的三角形△O₁O₂O₃是等边三角形，
其边长为2R．所以中间磁场区域的宽度为：
d=Rsin60°=$\frac{1}{2B}$$\sqrt{\frac{6mEL}{q}}$；        
（3）粒子在电场中做匀变速直线运动，运动时间：
t₁=2$\frac{v}{a}$=2$\frac{v}{\frac{qE}{m}}$=2$\sqrt{\frac{2mL}{qE}}$，
粒子在磁场中做圆周运动的周期：T=$\frac{2πm}{qB}$，
在中间磁场中运动时间为：t₂=2×$\frac{θ}{360°}$T=2×$\frac{60°}{360°}$×$\frac{2πm}{qB}$=$\frac{2πm}{3qB}$，
在右侧磁场中运动时间为：t₃=$\frac{θ′}{360°}$T=$\frac{300°}{360°}$×$\frac{2πm}{q×2B}$=$\frac{5πm}{6qB}$，
则粒子第一次回到O点的所用时间为：t=t₁+t₂+t₃=2$\sqrt{\frac{2mL}{qE}}$+$\frac{3πm}{2qB}$；
答：（1）带电粒子在磁场中运动的速率$\sqrt{\frac{2qEL}{m}}$；
（2）中间磁场区域的宽度为$\frac{1}{2B}$$\sqrt{\frac{6mEL}{q}}$；
（3）带电粒子从O开始运动到第一次回到O点所用的时间为2$\sqrt{\frac{2mL}{qE}}$+$\frac{3πm}{2qB}$．

点评 本题是带电粒子在组合场中运动的问题，静止的带点粒子在电场作用下做匀加速直线运动，在磁场中做匀速圆周运动，要求同学们能画出粒子运动的轨迹，结合几何关系求解，知道半径公式及周期公式，难度适中．