题目内容

2．如图所示，质量为m的跨接杆ab可以无摩擦地沿水平的导轨滑行，两轨间距为L，导轨与电阻R连接，放在竖直向下的匀强磁场中，磁感强度为B．杆从x轴原点O以大小为v0的水平初速度向右滑行，直到静止．已知杆在整个运动过程中速度v和位移x的函数关系是：v=v0-B2L2$\frac{x}{mR}$．杆及导轨的电阻均不计．
（1）试求杆所受的安培力F随其位移x变化的函数式．
（2）求出杆开始运动到停止运动过程中通过R的电量．
（3）求从开始到滑过的位移为全程一半时电路中产生的焦耳热．

分析 （1）杆在磁场中向右运动时，切割磁感线产生感应电流，受到向左的安培阻力作用，根据F=BIL，I=$\frac{BLv}{R}$，以及杆的速度v和位移x的函数关系式v=v0-B2L2$\frac{x}{mR}$，联立即可得到安培力F随其位移x变化的函数式．
（2）根据动量定理和电量公式q=It求解电量q．
（3）先求出滑动到一半位移时的速度，杆在运动过程中，杆减少的动能完全转化为电阻R的热量，根据能量守恒求解电阻R产生的热量Q．

解答 解：（1）杆在磁场中向右运动时，所受的安培力为：F=BIL，其中：I=$\frac{BLv}{R}$，
据题意，杆的速度v和位移x的函数关系为：v=v0-B2L2$\frac{x}{mR}$，
所以有：F=$\frac{{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}}{R}$v=$\frac{{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}}{R}$（v0-B2L2$\frac{x}{mR}$）
由上式可知，安培力F与位移x成线性关系．
（2）根据动量定理得：-B$\overline{I}$L△t=0-mv0，
则有：q=I△t=$\frac{m{v}_{0}^{\;}}{BL}$
（3）当v=0时，$x=\frac{mR{v}_{0}^{\;}}{{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}}$
当$x′=\frac{x}{2}$时，$v={v}_{0}^{\;}-{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}×\frac{1}{mR}×\frac{1}{2}×\frac{mR{v}_{0}^{\;}}{{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}}$=$\frac{{v}_{0}^{\;}}{2}$
根据能量守恒：${Q}_{1}^{\;}=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}-\frac{1}{2}m（\frac{{v}_{0}^{\;}}{2}）_{\;}^{2}=\frac{3}{8}m{v}_{0}^{2}$
答：（1）杆所受的安培力F随其位移x变化的函数式为F=$\frac{{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}}{R}$（v0-B2L2$\frac{x}{mR}$）．
（2）杆开始运动到停止运动过程中通过R的电量q为=$\frac{m{v}_{0}^{\;}}{BL}$．
（3）杆开始运动到停止运动过程中电阻R产生的热量Q为$\frac{3}{8}m{v}_{0}^{2}$

点评 本题中电磁感应中力学问题，分析和计算安培力是解题的关键，运用能量守恒、欧姆定律、法拉第电磁感应定律及并联、串联的特点进行分析和求解．

练习册系列答案
相关题目
19．如图所示是一质点做直线运动的v-t图象，据此图象得到的结论是（　　）
A．质点在第1秒末停止运动B．质点在前2秒内的位移为零
C．质点在第1秒末改变运动方向D．质点在第2秒内做减速运动
13．质量为的m=1Kg、长度足够长的木板放在光滑的水平面上，右端到竖直档板的距离L=0.08m．现有一质量也为m的滑块以v0=3m/s的水平速度从板的左端滑上木板，滑块与木板间的摩擦系数为μ=0.1，滑块与档板始终未碰撞．木板与档板碰后速度大小不变，方向相反．（碰撞时间极短，忽略不计）则木板碰撞3次后木板与滑块已达到共同速度；木板与档板共碰4次，滑块在木板上发生相对的时间是3s，相对滑动距离是4.5m．
10．如图所示，固定放置的两光滑平行金属导轨，间距d=0.2m，在桌面上的部分是水平的，处在磁感应强度B=0.1T、方向竖直向下的有界磁场中．电阻R=3Ω．桌面高H=0.8m，金属杆ab质量m=0.2kg，电阻r=1Ω，在导轨上距桌面h=0.2m的高处由静止释放，运动过程中a、b两端始终与导轨接触良好并且高度相同．落地点距桌面左边缘的水平距离s=0.4m，g=10m/s2．求：
（1）金属杆刚进入磁场时，R上的电流大小．
（2）整个过程中R上放出的热量．
17．倾斜光滑、足够长的平行导轨处在匀强磁场中，导轨上的电阻R1=3Ω，下边接一最大电阻为6Ω的滑动变阻器R2，金属棒ab的质量为m、电阻R3=4Ω，其余电阻不计，斜面的斜角为α．则金属棒ab沿着导轨加速下滑的过程中（　　）
A．金属棒克服安培力做的功等于其机械能的减少量
B．重力和安培力对金属棒做功之和等于金属棒增加的动能、电路产生的热量之和
C．滑动变阻器接入电路的电阻越小，金属棒匀速运动时受到的安培力越大
D．改变滑动变阻器接入电路的电阻，当金属棒匀速运动后R1的电功率最大时，R1、R2、R3的功率之比为P1：P2：P3=2：1：6
7．如图所示，带电量为q的正点电荷靠近接地的大金属板，产生类似等量异种电荷产生的电场，点电荷q与金属板间的距离为d，那么点电荷q受到的电场力为（　　）
A．k$\frac{{q}^{2}}{{d}^{2}}$B．k$\frac{{q}^{2}}{2{d}^{2}}$
C．k$\frac{{q}^{2}}{4{d}^{2}}$D．以上三个答案均错误
14．用频率未知的紫外线照射某光电管的阴极时，有光电子飞出．现给你一个电压可调且可指示电压数值的直流电源和一个灵敏度很高的灵敏电流计，试在图的方框中设计一种电路（光电管已画出），要求用该电路测量用所给紫外线照射光电管的阴极时产生的光电子的最大初动能．按照你设计的电路，重要的操作以及需要记录的数据是当加反向电压时，调节滑动触头P，使电流计的示数为零，记录此时电压表的示数U．你所测量的光电子的最大初动能是eU（已知电子电荷量为e）．
11．如图甲所示，两条相距l的光滑平行金属导轨位于同一竖直面（纸面）内，其上端接一阻值为R的电阻；在两导轨间 OO′下方区域内有垂直导轨平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B．现使电阻为r、质量为m的金属棒ab由静止开始自 OO′位置释放，向下运动距离d后速度不再变化．（棒ab与导轨始终保持良好的电接触且下落过程中始终保持水平，导轨电阻不计）．

（1）求棒ab在向下运动距离d过程中回路产生的总焦耳热；
（2）棒ab从静止释放经过时间t0下降了$\frac{d}{2}$，求此时刻的速度大小；
（3）如图乙在OO′上方区域加一面积为s的垂直于纸面向里的均匀磁场B'，棒ab由静止开始自 OO′上方一某一高度处释放，自棒ab运动到OO′位置开始计时，B'随时间t的变化关系B′=kt，式中k为已知常量；棒ab以速度v0进入OO′下方磁场后立即施加一竖直外力使其保持匀速运动．求在t时刻穿过回路的总磁通量和电阻R的电功率．
12．如图所示，甲、乙传送带倾斜放置，并以相同的恒定速率v逆时针运动，两传送带粗糙程度不同，但长度、倾角均相同．将一小物体分别从两传送带顶端的A点无初速释放，甲传送带上小物体到达底端B点时恰好达到速度v，乙传送带上小物体到达传送带中部的C点时恰好达到速度v，接着以速度v运动到底端B点．则小物体从A运动到B的过程中（　　）
A．小物体与甲传送带之间的动摩擦因数比与乙之间的小
B．两传送带对小物体做功相等
C．物体在甲传送带上的重力做功的平均功率比在乙上的大
D．两传送带因与小物体摩擦产生的热量相等

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