Question

17．如图所示，一个半圆形玻璃砖的截面图，AB与OC垂直，半圆的半径为R，一束平行单色光垂直于AOB所在的截面射入玻璃体，其中距O点距离为$\frac{R}{2}$的一条光线在玻璃体右侧折射出来，与直线OC交于D点，OD=$\sqrt{3}$R，求：
（Ⅰ）此玻璃砖的折射率是多少？
（Ⅱ）若在玻璃砖平面AOB某区域贴上一层不透光的黑纸，平行光照射玻璃砖后，右侧没有折射光射出，黑纸在AB方向的宽度至少是多少？

Answer 1

分析 （Ⅰ）作出逃跑图，由几何关系求出入射角和折射角，即可由折射定律求此玻璃砖的折射率．
（Ⅱ）平行射到ACB弧面上会发生全反射，设光线IJ恰好发生全反射，其入射角等于临界角C，由sinC=$\frac{1}{n}$求出C，再由几何知识求出不能在ACB面上发生全反射的平行的宽度，即为所求黑纸在AB方向的宽度．

解答 解：（I）连接OE并延长至H，作EF垂直于OD于F，光纤与AB的交点为G，

由几何关系可知，∠EOD=30°，OF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$R
再由三角函数可得∠DEH=60°，即折射角 r=60°     
所以此玻璃的折射率为：n=$\frac{sinir}{sini}$=$\frac{sin60°}{sin30°}$=$\sqrt{3}$
（ II）设光线IJ恰好发生全反射，则∠IJO 为临界角C

所以有 sin∠IJO=$\frac{1}{n}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
根据几何关系有 sin∠IJO=$\frac{OI}{OJ}$
求得：OI=$\frac{\sqrt{3}}{3}$R                
所以黑纸宽度至少是$\frac{2\sqrt{3}}{3}$R．
答：（Ⅰ）此玻璃砖的折射率是$\sqrt{3}$．
（Ⅱ）黑纸在AB方向的宽度至少是$\frac{2\sqrt{3}}{3}$R．

点评 解决本题的关键掌握几何光学问题中的折射定律和全反射临界角公式，运用几何知识结合进行解答．