Question

4．滑板运动项目部分轨道可简化为由AB、CD两段半径R=3m的四分之一光滑竖直圆弧面与长度L=4m的水平BC段组成，如图所示，运动员和滑板总质最 m=60kg，从A点由静止自由滑入轨道，假定运动员始终在同一坚直面内运动，已知滑板与水平BC段之间的动摩擦因素μ=0.02，取g=10m/s²，求：
（1）运动员第一次滑到B点速度大小；
（2）运动员第一次滑到B点时对轨道的压力；
（3）运动员最终停止的点距B点的水平距离．

Answer 1

分析 （1）先根据机械能守恒求出物块从A点下滑到B点时速度的大小；
（2）在B点，由重力和轨道的支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律求解轨道对物块的支持力，由牛顿第三定律得到对轨道底端的压力．
（3）物体在BC面上所受的滑动摩擦力始终做负功，而且滑动摩擦力做功与总路程有关，根据动能定理对从开始运动到最终停止整个过程列式，求出物体在BC上滑行的总路程，然后确定其位置．

解答 解：（1）从A到B，由机械能守恒定律得：
   mgR=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
则得，v_B=$\sqrt{2gR}=\sqrt{2×10×3}m/s=2\sqrt{15}m/s$
（2）在B点，物块由重力和轨道的支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律
  F_N-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$   
解得，F_N=3mg=3×60×10N=1800N     
（3）对整个过程，由动能定理得：mgR-μmgs=0，
代入数据解得：s=150m，$n=\frac{s}{{S}_{BC}}=\frac{150}{4}=37.5$次，最后物体停在BC中点；距离为2m
答：（1）运动员第一次滑到B点速度大小为$2\sqrt{15}m/s$；
（2）运动员第一次滑到B点时对轨道的压力为1800N；
（3）运动员最终停止的点距B点的水平距离为2m

点评 本题涉及力在空间的效果，运用动能定理求解比较简便，关键要抓住滑动摩擦力做功与总过程有关，由动能定理可求得总路程．