Question

9．如图所示，光滑圆弧BC与水平面和传送带分别相切于B，C两点，圆弧所对应的圆心角θ=37°，圆弧BC的半径R=7m，足够长的传送带以恒定速率v=4m/s顺时针转动，传送带CD与水平面的夹角也为θ，一质量m=1kg的小滑块从A点以大小v₀=10m/s的初速度向B点运动，A，B间的距离s=3.6m，已知小滑块与水平面、传送带之间的动摩擦因数均为μ=0.5，重力加速度g取10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．求：
（1）小滑块第一次滑到C点时的速度的大小；
（2）小滑块到达最高点时，相对C点增加的重力势能；
（3）小滑块到达最高点时，小滑块与传送带间由于摩擦而产生的热量．

Answer 1

分析 （1）A到C的过程中重力与摩擦力做功，根据动能定理即可求得物体第一次到达C的速度．
（2）由于物体在传送带上时，重力沿斜面向下的分力大于摩擦力，所以物体在传送带上的减速运动分成两个阶段，对物体分别进行受力分析，求得两个阶段的加速度，然后根据运动学的公式分别求出两个阶段的位移大小，从而求得物块上升的最大高度，即可求得增加的重力势能．
（3）由功的计算公式可以求出滑块与传送带间因摩擦产生的热量．

解答 解：（1）C离A的高度：h=R-Rcosθ=R-0.8R=0.2R=1.4m
滑块从A到C的过程中，由动能定理得：
-mgh-μmgs=$\frac{1}{2}$mv_c²-$\frac{1}{2}$mv₀²，
代入数据解得：v_c=6m/s；
（2）物体在传送带上运动的加速度大小为a₁，则：
a₁=gsinθ+μgcosθ=10×sin37°+0.5×10×cos37°=10m/s ²，
设物体在传送带上达到与传送带等速时的时间为t₁，则：
v=v_c-a₁t₁，解得：t₁=$\frac{{v}_{C}-v}{{a}_{1}}$=$\frac{6-4}{10}$s=0.2s．
向上的位移：x₁=$\frac{{v}_{C}+v}{2}$t₁=$\frac{6+4}{2}$×0.2=1m，
由于 mgsinθ＞μmgcosθ
物体继续在传送带上减速上滑，加速度大小为：
a₂=gsinθ-μgcosθ=10×sin37°-0.5×10×cos37°=2m/s²
继续向上滑动的时间：t₂=$\frac{v}{{a}_{2}}$=$\frac{4}{2}$=2s，
继续向上滑动的位移：x₂=$\frac{v}{2}$t₂=$\frac{4}{2}$×2=4m，
向上运动的最大距离：x=x₁+x₂=1m+4m=5m．
小滑块到达的最高点时，相对C点增加的重力势能增加量为：△E_P=mgxsin30°=30J；
（3）小滑块与传送带间由于摩擦产生的热量：
Q=W=fx=μmgxcosθ=0.5×1×10×5cos37°=20J；
答：（1）小滑块第一次滑到C点时的速度大小为6m/s；
（2）小滑块到达的最高点时，相对C点增加的重力势能为30J；
（3）小滑块到达最高点时，小滑块与传送带间由于摩擦而产生的热量为20J．

点评 解决本题的关键理清物体的运动过程，知道物体的运动规律，结合动能定理、牛顿第二定律和运动学公式进行求解．