Question

18．MN、PQ是长为d，间距为d的两块平行金属板，PQ板带正电，MN板带负电，在PQ板所处水平线上方足够大空间内有垂直纸面的匀强磁场，如图所示，一束粒子以相同的速度v₀平行两极板射入电场，其中沿两板中线射入的粒子恰好能从PQ板左边缘射入磁场，然后又恰好从PQ板的右边缘射出磁场，已知粒子电荷量为q、质量为m，不计粒子重力、忽略电场的边缘效应，磁感应强度大小B=$\frac{2m{v}_{0}}{qd}$．
（1）判断磁感应强度的方向；
（2）求两金属板间电压U的大小；
（3）若匀强磁场中距Q点左边的水平距离x=$\frac{2\sqrt{2}-1}{4}$d处有一竖直挡板，打在挡板上的粒子能被吸收，求粒子打在PQ板上表面的范围．

Answer 1

分析 （1）根据粒子在电场中偏转的方向，判断出粒子的电性，然后结合粒子在磁场中偏转的方向，由左手定则即可判断出磁场的方向；
（2）带电粒子在平行金属板间做的是类平抛运动，对物体受力分析，根据平抛运动的规律可以求得电压的大小；
（3）根据粒子在电场中做平抛运动的特点，求出能够射出电场的粒子的范围．以及粒子出射的方向；出电场后，粒子做匀速直线运动，结合运动学的公式求出粒子进入磁场的范围，在根据磁场中运动的规律判断出粒子打在PQ板上表面的范围．

解答 解：（1）根据粒子在电场中向正极偏转的特点，可以判断出粒子带负电；带负电的粒子在磁场中向右偏转，由左手定则可知磁场的方向向里．
（2）设带电粒子在平行金属板匀强电场中运动的时间为t，由类平抛运动可知：
d=v₀t       ①
$\frac{1}{2}$$d=\frac{1}{2}a{t}^{2}$        ②
$a=\frac{Eq}{m}$         ③
$E=\frac{U}{d}$          ④
由①②③④可解得：
U=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{q}$           ⑤
（3）粒子出电场时：v_y=at=$\frac{qU}{md}•\frac{d}{{v}_{0}}={v}_{0}$ 
设速度的偏转角为θ，则：$tanθ=\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}=1$
所以：θ=45°
粒子出电场时的速度：$v=\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}=\sqrt{2}{v}_{0}$   ⑥
带电粒子以速度v飞出电场后射入匀强磁场做匀速圆周运动，粒子在磁场中做圆周运动时洛伦兹力提供向心力有：

$qvB=m\frac{{v}^{2}}{R}$  
则粒子运动的半径：$R=\frac{mv}{qB}=\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}}{q•\frac{2m{v}_{0}}{qd}}=\frac{\sqrt{2}}{2}d$    ⑦
由类平抛运动的特点可知，射出电场的所有的粒子运动的方向都是相同的，速度的大小也相等，从Q点射入磁场的粒子运动的轨迹如图所示，进入磁场中的粒子若没有打到挡板上，则一定会到达极板PQ的上面，刚好与挡板相切的粒子假设从D点进入磁场，到达PQ上的H点，如图，由图可知，$\overline{PH}=\overline{QD}$，$\overline{PH}$即为粒子打在PQ板上表面的范围．
由几何关系可知，D点到挡板的距离：$x′=R-Rcos45°=R-\frac{\sqrt{2}}{2}R$=$\frac{\sqrt{2}}{2}d（1-\frac{\sqrt{2}}{2}）=\frac{2\sqrt{2}-2}{4}d$
所以$\overline{QD}=x-x′=\frac{2\sqrt{2}-1}{4}d-\frac{2\sqrt{2}-2}{4}d$=$\frac{1}{4}d$
则：$\overline{PH}=\frac{1}{4}d$
答：（1）磁感应强度的方向垂直于纸面向里；
（2）两金属板间电压U的大小是$\frac{m{v}_{0}^{2}}{q}$；
（3）若匀强磁场中距Q点左边的水平距离x=$\frac{2\sqrt{2}-1}{4}$d处有一竖直挡板，打在挡板上的粒子能被吸收，粒子打在PQ板上表面的范围是在离P点$\frac{1}{4}$d的范围以内．

点评 本题考查带电粒子在匀强磁场中的运动和带电粒子在电场中的运动，重点是要掌握住半径公式、周期公式．在解答的过程中画出粒子的运动轨迹后，几何关系就比较明显了．