Question

5．如图所示，在光滑的水平平台上有一质量 m=0.1kg的小球压缩轻质弹簧（ 小球与 弹簧不拴连） 使其具有 Eb=0.2J的弹性势能，平台的 B端连接两个半径都为 R且内壁都 光滑的四分之一细圆管 BC及细圆管 CD，圆管内径略大于小球直径，B点和 D点都与水平 面相切． 在地面的 E处有一小圆弧（ 图中未画出，小球在经过 E处时的动能不损失） 且安装了一个可改变倾角的长斜面EF，已知地面DE长度为0.3m且与小球间的动摩擦因数?_l=0.5，小球与可动斜面 EF间的动摩擦因数 ?₂=$\frac{\sqrt{3}}{3}$． 现释放小球，小球弹出后进入细圆管，运动到 B点时对上管壁有 F_N=1N的弹力．求：

（1）细圆管的半径 R；
（2）小球经过 D点时对管壁的压力大小；
（3）当斜面 EF与地面的倾角θ（在 0～90°范围内）为何值时，小球沿斜面上滑的长度最短？并求出最短长度．

Answer 1

分析 （1）根据能量守恒求出小球到达B点的速度，结合牛顿第二定律，通过小球对B点的弹力求出细圆管的半径．
（2）对B到D运用动能定理，求出D点的速度，结合牛顿第二定律求出小球经过 D点时对管壁的压力大小．
（3）根据动能定理求出小球在EF上上滑长度的表达式，结合数学三角函数求出最短长度．

解答 解：（1）根据能量守恒得，${E}_{p}=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$，
代入数据解得v_B=2m/s．
在B点，根据牛顿第二定律得，${F}_{N}+mg=m\frac{{{v}_{B}}^{2}}{R}$，
代入数据解得R=0.2m．
（2）对B到D，根据动能定理得，$mg•2R=\frac{1}{2}m{{v}_{D}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$，
由牛顿第二定律得，${F}_{D}-mg=m\frac{{{v}_{D}}^{2}}{R}$，
代入数据解得F_D=7N．
（3）从B开始，到运动至斜面上的最高处，根据动能定理得，
mg•2R-μ₁mgL_DE-mgssinθ-μ₂mgcosθs=$0-\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$，
代入数据解得s=$\frac{1.35}{3sinθ+\sqrt{3}cosθ}=\frac{1.35}{2\sqrt{3}sin（θ+30°）}$，
当θ=60°时，s有最大值，${s}_{m}=\frac{9\sqrt{3}}{40}m≈0.39m$．
答：（1）细圆管的半径为0.2m；
（2）小球经过 D点时对管壁的压力大小为7N；
（3）当斜面 EF与地面的倾角θ（在 0～90°范围内）为60°时，s有最大值，最大值为0.39m．

点评 本题考查了动能定理、牛顿第二定律的综合运用，知道小球做圆周运动向心力的来源，对于第三问，对数学能力要求较高，关键得出关系式，结合三角函数进行求解．