题目内容
16．
如图所示，一质量为m的小球用长为L的轻质细线悬于O点，与O点处于同一水平线上的P点处有一个光滑的细钉，OP=$\frac{L}{2}$，在A点给小球一个水平向左的初速度，发现小球恰能到达跟P点在同一竖直线上的最高点B，已知重力加速度为g，（设小球在运动过程中细线不会被拉断）（1）若不计空气阻力，小球到达B点时的速率为多大？
（2）若不计空气阻力，小球初速度v0=2$\sqrt{gL}$，试判断小球能否到达B点？若能到达，求在B点时细线受到小球的拉力的大小？
（3）若空气阻力不能忽略，且给小球向左的初速度v0′=3$\sqrt{gL}$时小球恰能到达B点，求这一过程中空气阻力对小球所做的功．
分析 （1）小球恰好能到达最高点B，根据重力提供圆周运动向心力求得到达B时的速率大小；
（2）根据机械能守恒求得小球到达B点的速度，注意判定是否满足到达B点的条件，再根据牛顿第二定律求得绳对小球的拉力大小；
（3）对整个过程，根据动能定理求得空气阻力对小球所做的功．
解答 解：（1）小球恰好到达B点时满足：
mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{\frac{L}{2}}$
解得：vB=$\sqrt{\frac{1}{2}gL}$
（2）设小球能从A运动到B，由机械能守恒定律有：
mg•$\frac{3L}{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{{′}^{2}}$
解得：vB′=$\sqrt{gL}$＞vB=$\sqrt{\frac{1}{2}gL}$
所以小球能到达B点
在点B，对小球受力分析有：
mg+T=m$\frac{{v}_{B}^{′2}}{\frac{L}{2}}$
代入可解得：T=mg
根据牛顿第三定律可知细线受到小球的拉力T′=T=mg
（3）设小球能从A运动到B，由动能定理有：
-mg $•\frac{3}{2}L$+Wf=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{′2}$
代入数据可解得：Wf=-$\frac{11}{4}$mgL
答：
（1）小球到达B点时的速率为 $\sqrt{\frac{1}{2}gL}$．
（2）若初速度v0=2$\sqrt{gL}$，小球能到达B点，在B点细线受到小球的拉力为mg；
（3）空气阻力做的功为-$\frac{11}{4}$mgL．
点评 本题考查了牛顿第二定律和动能定理的综合，知道恰好到达最高点的临界情况，即拉力为零，重力提供向心力，明确空气阻力是变力，运用动能定理求阻力做功是常用的方法．
黄冈创优卷系列答案
如图所示，轻质弹簧与中空的小球组成一个弹簧振子，振子在光滑水平杆上的a、b之间往复振动，O为它的平衡位置．若以向右为正方向，则（ ）| A． | a、b两点处，振子的回复力相同 | |
| B． | 振子从b向O运动，动能逐渐减少 | |
| C． | 振子从a向O运动，加速度方向为正方向，加速度大小正在减少 | |
| D． | 振子从a向O运动经过c点时，位移方向为正方向，速度方向为正方向 |
| A． | 物体A静止在物体B上，A的质量是B的质量的10倍，则A对B的作用力大于B对A的作用力 | |
| B． | 以卵击石，石头没有损伤而鸡蛋破了，是因为鸡蛋对石头的作用力小于石头对鸡蛋的作用力 | |
| C． | 走路时，只有地对脚的作用力大于脚蹬地的力时，人才能往前走 | |
| D． | 走路时，地对脚的作用力与脚蹬地的力总是大小相等，方向相反的 |
在竖直平面内有一半径为R的光滑圆环轨道，一质量为m的小球穿在圆环轨道上做圆周运动，到达最高点C时的速率vc=$\sqrt{\frac{4gR}{5}}$，则下列说法正确的是（ ）| A． | 此球的最大速率是$\sqrt{5}$vc | |
| B． | 小球到达C点时对轨道的压力是$\frac{4mg}{5}$ | |
| C． | 小球在任一直径两端点上的动能之和相等 | |
| D． | 小球沿圆轨道绕行一周所用的时间小于π$\sqrt{\frac{5R}{g}}$ |
用两根绳子吊起一个重物，如图所示，如果AO、BO绳所能承受的最大拉力均是2.0×104N，（sin37°=0.6，sin53°=0.8）求：
如图为一圆环，其圆心为O，若以它的直径AB为轴做匀速转动，如图所示，则圆环上Q、P两点的线速度大小之比是1：$\sqrt{3}$．若圆环的半径是20cm，绕AB轴转动的周期是0.2s，则环上Q点的向心加速度大小是10π2m/s2．
竖直圆环绕过圆心的竖直轴AB匀速转动，如图所示，圆环上P、Q两点分别固定质量为m和2m的小球，它们与圆心O的连线与竖直轴AB的夹角分别为60°和30°．则（ ）| A． | P、Q两点的角速度大小之比为1：1 | |
| B． | P、Q两点的线速度大小之比为1：1 | |
| C． | P、Q两点处小球的向心加速度之比为$\sqrt{3}$：1 | |
| D． | P、Q两点处小球的向心力之比为$\sqrt{3}$：1 |