Question

14．如图甲的xoy坐标系中，第一、二和三象限中存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B．在O处有一粒子源，能向平面内各个方向均匀发射速率为v₀的带正电的相同粒子，这些粒子与-x轴的最远交点为A（-2a，0）．不计粒子重力以及粒子之间的相互作用．

（1）求粒子的比荷$\frac{q}{m}$．
（2）若在x=-1.5a处垂直于x轴放置一块足够长的荧光板MN，当粒子击中MN时将被吸收，并使荧光物质发光变亮．求MN上亮线的长度
（3）若撤去粒子源和第一象限内的磁场，在第四象限内加一个沿+y方向的场强为E=v₀B的匀强电场，并在第一象限内x=3a处放一个足够长的荧光屏PQ，如图乙．在y轴上y=2a以下位置水平沿-x方向以速度v₀发射上述粒子，则应在何处发射，才能使粒子击中PQ时的位置离P最远？求出最远距离．

Answer 1

分析 （1）在磁场中，根据洛伦兹力提供向心力几何几何关系即可求解；
（2）根据几何关系分别求出MN上粒子打中的最高点C和最低点离x轴的距离，从而求出亮线的长度；
（3）粒子在电场中做类平抛运动，根据平抛运动的基本公式求出击中点离P点的距离的表达式，再结合数学知识求解．

解答 解：（1）在磁场中，根据洛伦兹力提供向心力得：
Bqv₀=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$
由几何关系得：r=a，
解得：$\frac{q}{m}$=$\frac{{v}_{0}}{Ba}$；

（2）MN上粒子打中的最高点C离x轴的距离：
l₁=$\sqrt{（2a）^{2}-（\frac{3}{2}a）^{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$a，
MN上粒子打中的最低点D离x轴的距离：
l₂=$\sqrt{{a}^{2}-（1.5a-a）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
所以亮线的长度：
l=l₁+l₂=$\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{2}a$；

（3）粒子从y=-h处F点进入电场，
在电场中：x=v₀t，h=$\frac{1}{2}$$\frac{qE}{m}$t²，
速度偏角为α，则tanα=$\frac{\frac{qE}{m}t}{{v}_{0}}$，
击中点离P点的距离为：Y=（3a-x）tanα，
联立各式解得：Y=3$\sqrt{2ah}$-2h，当$\sqrt{h}$=-$\frac{3\sqrt{2}a}{4}$，
即h=$\frac{9}{8}$a时，亦即发射点为y=$\frac{7}{8}$a时，
有：Y_max=3$\sqrt{2a•\frac{9}{8}h}$-2•$\frac{9a}{8}$=$\frac{9}{4}$a．
答：（1）粒子的比荷$\frac{q}{m}$为$\frac{{v}_{0}}{Ba}$；
（2）MN上亮线的长度为$\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{2}a$；
（3）发射点为y=$\frac{7}{8}$a时，才能使粒子击中PQ时的位置离P最远，最远距离为$\frac{9}{4}$a．

点评 带电粒子在磁场中运动的题目解题步骤为：定圆心、画轨迹、求半径．要掌握左手定则，熟练运用牛顿第二定律研究半径．