Question

16．一轻弹簧的一端固定在倾角为θ的固定光滑斜面的底部，另一端和质量为m的小物块a相连，如图所示．质量为$\frac{3}{5}$m的小物块b紧靠a静止在斜面上，此时弹簧的压缩量为x₀，从t=0时开始，对b施加沿斜面向上的外力，使b始终做匀加速直线运动．经过一段时间后，物块a、b分离；再经过同样长的时间，b距其出发点的距离恰好也为x₀．弹簧的形变始终在弹性限度内，重力加速度大小为g．求
（1）弹簧的劲度系数；
（2）物块b加速度的大小；
（3）在物块a、b分离前，外力大小随时间变化的关系式．

Answer 1

分析 （1）对整体分析，根据平衡条件和胡克定律即可求得劲度系数；
（2）分析物体的运动过程，根据运动学规律可明确分离时的位移，从而确定对应的形变量；再根据牛顿第二定律即可求得加速度的大小；
（3）对整体进行分析，根据牛顿第二定律列式即可求得拉力随时间变化的表达式．

解答 解：（1）对整体分析，根据平衡条件可知，沿斜面方向上重力的分力与弹簧弹力平衡，则有：
kx₀=（m+$\frac{3}{5}$m）gsinθ
解得：k=$\frac{8mgsinθ}{5{x}_{0}}$    （1）
（2）由题意可知，b经两段相等的时间位移为x₀；
由匀变速直线运动相邻相等时间内位移关系的规律可知：
$\frac{{x}_{1}}{{x}_{0}}$=$\frac{1}{4}$     （2）
说明当形变量为x₁=x₀-$\frac{{x}_{0}}{4}$=$\frac{3{x}_{0}}{4}$时二者分离；
对m分析，因分离时ab间没有弹力，则根据牛顿第二定律可知：
kx₁-mgsinθ=ma   （3）
联立（1）（2）（3）解得：
a=$\frac{gsinθ}{5}$
（3）设时间为t，则经时间t时，ab前进的位移x=$\frac{1}{2}$at²=$\frac{gsinθ{t}^{2}}{10}$
则形变量变为：△x=x₀-x
对整体分析可知，由牛顿第二定律有：
F+k△x-（m+$\frac{3}{5}$m）gsinθ=（m+$\frac{3}{5}$m）a
解得：F=$\frac{48}{25}$mgsinθ+$\frac{4m{g}^{2}si{n}^{2}θ}{25{x}_{0}}$ t²  因分离时位移x=$\frac{{x}_{0}}{4}$
由x=$\frac{{x}_{0}}{4}$=$\frac{1}{2}$at²解得：
t=$\sqrt{\frac{5{x}_{0}}{2gsinθ}}$
故应保证t＜$\sqrt{\frac{5{x}_{0}}{2gsinθ}}$，F表达式才能成立．
答：
（1）弹簧的劲度系数为$\frac{8mgsinθ}{5{x}_{0}}$；
（2）物块b加速度的大小为$\frac{gsinθ}{5}$；
（3）在物块a、b分离前，外力大小随时间变化的关系式F=$\frac{48}{25}$mgsinθ+$\frac{4m{g}^{2}si{n}^{2}θ}{25{x}_{0}}$t² （t＜$\sqrt{\frac{5{x}_{0}}{2gsinθ}}$）

点评 本题考查牛顿第二定律的基本应用，解题时一定要注意明确整体法与隔离法的正确应用，同时注意分析运动过程，明确运动学公式的选择和应用是解题的关键．