题目内容

为了迎接2008年北京奥运会的召开，我市某校的物理兴趣小组设计了如图所示的玩具轨道，其中“2008”四个等高数字是用内壁光滑的薄壁细圆玻璃管弯成，固定在竖直平面内（所有数字均由圆形和直圆管组成，P点与M、N点等高，圆半径比细管的内径大得多），底端与水平地面相切．右端的弹射装置将一个小球（小球的直径略小于玻璃管的内径，且可以视为质点），以va=5m/s的水平初速度由a点弹出，从b点进入玻璃轨道，依次经过“8002”后从p点水平抛出．设小球与地面ab段间的动摩擦因数u=0.3，不计其它机械能损失．已知ab段长x=1.5m，数字“0”的半径R=0.2m，小球的质量m=0.01kg，取g=10m/s2．试求：

（1）小球运动到数字“8”的最高点N处和数字“0”的最高点M处的角速度之比．
（2）小球到达数字“8”的最高点N时管道对小球作用力的大小和方向．
（3）小球从p点抛出后落到地面时的速度．
分析：（1）根据机械能守恒定律知小球在数字“8”的最高点N处和数字“0”的最高点M处速度大小相等，根据v=rω得出角速度之比．
（2）对小球由位置a经b运动到N点的过程，应用动能定理求出N点的速度，根据牛顿第二定律求出轨道对球的弹力大小和方向．
（3）P点的速度与N点的速度相等，根据平抛运动的规律求出小球落地的速度大小和方向．
解答：解：（1）由机械能守恒定律知，小球在M和N两点的速度相同，由公式v=ωr得两点的角速度之比为
ωN
ωM
=
RM
RN
=
2
1

（2）小球由位置a经b运动到N点的过程，应用动能定理得：μmgx+mg×2R=
1
2
m
v
2
a
-
1
2
m
v
2
N

v
2
N
=
v
2
a
-4gR-2μgx
=52-4×10×0.2-2×0.3×10×1.5
=8 

设小球在N点轨道给它的压力为FN，由牛顿第二定律得FN+mg=m
v
2
N
R/2

FN=2m
v
2
N
R
-mg=2×0.01×
8
0.2
-0.01×10=0.7(N)
方向竖直向下                                                    
（3）由机械能守恒定律知，小球过P点以速度vP=vN=
8
m/s做平抛运动，则有    
2R=
1
2
gt2t=
4R
g
=
4×0.2
10
=
2
5
(s)
vy=gt=10×
2
5
=2
2
(m/s)
小球的落地速度为v=
v
2
x
+
v
2
y
=
8+8
=4(m/s)
设落地速度与水平方向的夹角为θ，则有tanθ=
vy
vp
=
8
8
=1
θ=45°
答：（1）小球运动到数字“8”的最高点N处和数字“0”的最高点M处的角速度之比为
2
1
．
（2）小球到达数字“8”的最高点N时管道对小球作用力的大小为0.7N，方向竖直向下．
（3）小球从p点抛出后落到地面时的速度为4m/s，与 水平方向的夹角为45°．
点评：本题综合考查了动能定理、机械能守恒定律和牛顿第二定律，涉及到直线运动、圆周运动和平抛运动，综合性较强，关键理清运动过程，选择适当的研究过程，运用动能定理或机械能守恒定律解题．
练习册系列答案
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为迎接2008年北京奥运会，从东直门到首都机场T3航站楼，修建了一条轨道交通线，全长27.3km，设计运行时间为16min，这条轨道交通线是目前全国最快的地铁线路（如图所示）．在设计这条轨道交通线的过程中，科技人员需要进行一些测试．某次测试中列车在平直轨道上由静止开始到最大速度v所用时间为t，设在运动过程中列车所受牵引力和列车所受的阻力均不变，则列车的加速度大小为
v
t
v
t
；在此段时间t内列车通过的路程为
vt
2
vt
2
．
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