Question

9．2015年“总统杯”高尔夫球赛在韩国仁川举行，在某次比赛中，美国选手罗伯待-斯待布击球后，球恰好落在洞的边缘，假定洞内表面为半球面，半径为R，且空气阻力可忽略，重力加速度为g，把此球以大小不同的初速度v₀沿半径方向水平击出，如图所示，球落到球面上，小球从开始到球面，下列说法正确的是（　　）

• A． 落在球面上时的最大速度为2$\sqrt{2gR}$
• B． 落在球面上时的最小速度为$\sqrt{\sqrt{3}gR}$
• C． 小球的运动时间与v₀大小无关
• D． 无论调整v₀大小为何值，球都不可能垂直击在球面上

Answer 1

分析 小球做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，时间由下落的高度决定，当小球落在c点时运动的时间最长；当水平位移大于圆环的半径时，小球会落在cb段；重力的功率由重力和竖直分速度的乘积分析．根据速度的反向延长线交于水平位移的中点，分析小球能否垂直撞击圆环．

解答 解：平抛运动竖直方向的分运动是自由落体运动，由h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，得t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$
AB、设小球落在A点时，OA与竖直方向之间的夹角为θ，水平方向的位移为x，竖直方向的位移为y，水平方向的初速度为v₀，到达a点时竖直方向的速度为v_y，则；

则：x=v₀t=Rsinθ，$y=\frac{{v}_{y}^{2}}{2g}=Rcosθ$
得：${v}_{y}^{2}=2gRcosθ$，${v}_{0}\sqrt{\frac{2Rcosθ}{g}}=Rsinθ$
又由：${v}_{t}=\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$
联立得：${v}_{t}=\sqrt{{v}_{0}^{2}+2gRcosθ}$=$\sqrt{\frac{Rg•si{n}^{2}θ}{2cosθ}+2gRcosθ}$=$\sqrt{（\frac{3}{2}cosθ+\frac{1}{2cosθ}）Rg}$
所以落在球面上时的小球有最小速度，当$\frac{3}{2}cosθ=\frac{1}{2cosθ}$时，最小速度为$\sqrt{\sqrt{3}gR}$．故A错误，B正确．
C、由以上的分析可知，小球下落的时间：t=$\frac{{v}_{t}}{g}$=$\sqrt{\frac{{v}_{0}^{2}}{{g}^{2}}+\frac{2Rcosθ}{g}}$．与小球的初速度有关．故C错误；
D、小球撞击在圆面时，速度方向斜向右下方，根据“中点”结论可知，由于O不在水平位移的中点，所以小球撞在圆环上的速度反向延长线不可能通过O点，也就不可能垂直撞击圆环．故D正确．
故选：BD．

点评 解决本题的关键掌握平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律，能巧妙运用“中点”的推论分析小球速度的方向，也可以结合运动学公式列式进行分析．