题目内容

5．如图所示，质量为M=3kg的小车静止在光滑水平面上，其中AB段时半径为R=2.4m的四分之一圆弧光滑轨道，BC段是一段长为L=2m的水平粗糙轨道，两段轨道相切于B点，一质量为m=1kg的滑块在小车上从A点由静止开始沿轨道滑下，滑块与小车水平部分的动摩擦因数μ=0.3，重力加速度为g=10m/s2，求：
（1）若小车固定，滑块运动过程中对小车的最大压力多大？
（2）若小车不固定，滑块仍从A点由静止下滑，然后滑入BC轨道，最后从C点滑出小车，则滑块运动过程中，小车的最大速度大小是多少？
（3）在第（2）题中，滑块从B到C运动过程中，小车的位移大小是多少？

分析 （1）滑块运动B点时对小车的压力最大，由动能定理可以求出滑块到达B点的速度，在B点，应用牛顿第二定律可以求出轨道对滑块的支持力，再由牛顿第三定律求得压力．
（2）滑块在圆弧上下滑的过程中，小车做加速运动，滑块运动到B点后小车开始做减速运动，所以当滑块刚滑到B点时小车的速度最大，由系统水平方向动量守恒和机械能守恒结合求解小车的最大速度．
（3）滑块从B到C运动过程中，对小车和滑块分别运用动能定理列式，运用动量守恒定律列式，可求得小车的位移大小．

解答 解：（1）当滑块到达B时的速度最大，受到的支持力最大，滑块对小车的压力最大；
滑块沿圆弧下滑的过程，由机械能守恒得：
   mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
滑块在B点时，由轨道的支持力与重力的合力提供向心力，得：
   N-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
解得：N=3mg
由牛顿第三定律得：滑块对小车的压力：N′=N=3mg=3×1×10N=30N
即滑块运动过程中对小车的最大压力是30N．
（2）当滑块刚滑到B点时小车的速度最大，设为v1，此时小车的速度为vm．
取水平向右为正方向，由系统水平方向动量守恒得
    0=mv1+Mvm．
由系统的机械能守恒得：
  mgR=$\frac{1}{2}$mv12+$\frac{1}{2}$Mvm2．
解得：v1=6m/s，vm=2m/s
所以小车的最大速度大小是2m/s．
（3）设滑块刚滑到C点时滑块和小车的速度分别为v2和v3．
整个过程中，系统水平方向动量守恒，则得 0=mv2+Mv3．
由系统的能量守恒得：
  mgR=$\frac{1}{2}$mv12+$\frac{1}{2}$Mv32+μmgL
设滑块从B到C运动过程中，小车的位移大小是x，对小车，根据动能定理得
-μmgx=$\frac{1}{2}$Mv32-$\frac{1}{2}$Mvm2．
联立解得 v2=-3$\sqrt{3}$m/s，v3=$\sqrt{3}$m/s，x=0.5m
答：
（1）若小车固定，滑块运动过程中对小车的最大压力是30N．
（2）滑块运动过程中，小车的最大速度大小是2m/s．
（3）滑块从B到C运动过程中，小车的位移大小是0.5m．

点评 本题主要考查系统水平方向动量守恒和能量守恒的问题，要正确分析能量的转化情况，注意滑块在圆弧上下滑的过程，系统水平方向运量守恒，但总动量并不守恒．

练习册系列答案
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