Question

15．如图所示，有三个宽度均相等的区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ；在区域Ⅰ和Ⅲ内分别为方向垂直于纸面向外和向里的匀强磁场（虚线为磁场边界），区域Ⅰ中磁场的磁感应强度大小为B，某种带正电的粒子，从孔O₁以大小不同的速率沿图示与aa′夹角α=30°的方向进入磁场（不计重力）．
（1）试求出粒子的比荷$\frac{q}{m}$、速度为2v₀的粒子从区域I射出时的位置离O₁的距离L；
（2）若速度为v的粒子在区域I内的运时间为$\frac{{t}_{0}}{5}$，在图示区域Ⅱ中O₁O₂上方加竖直向下的匀强电场，O₁O₂下方对称加竖直向上的匀强电场，场强大小相等，速度为v的粒子恰好每次均垂直穿过I、Ⅱ、Ⅲ区域的边界面并能回到O₁点，求所加电场场强大小与区域Ⅲ磁感应强度大小．

Answer 1

分析 （1）速度为υ_o和2υ_o时粒子在区域I内的运动时间相同，故粒子运动的轨迹对应的圆心角相同，故只能在区域I中运动，故其轨迹所对应的圆心角为300°=$\frac{5}{3}π$，根据周期公式通过运动的时间求出粒子的比荷．根据洛伦兹力提供向心力求出速度为2v₀的粒子运动的半径，根据几何关系计算速度为2v₀的粒子从区域I射出时的位置离O₁的距离L．
（2）度为υ的粒子每次均垂直穿过I、Ⅱ、Ⅲ区域的边界面并能回到O₁点，根据要求作出运动的轨迹图，根据粒子在电场中做类平抛运动，结合运动的周期性求出电场强度的大小，进入磁场做匀速圆周运动，在磁场中运动180°出磁场，根据半径的大小关系求出磁感应强度的大小．

解答 解：（1）由题意可得速度为v₀和2v₀的粒子均由区域Ⅰ左侧aa′出磁场，则粒子转过的圆心角为$\frac{5}{3}π$，
故${t}_{0}=\frac{5}{6}T$，
周期为：T=$\frac{2πm}{qB}$，
解得：$\frac{q}{m}=\frac{5π}{3B{t}_{0}}$．
对速度为2v₀的粒子在区域Ⅰ运动：$qB（2{v}_{0}）=m\frac{（2{v}_{0}）^{2}}{r}$，
解得：r=$\frac{2m{v}_{0}}{qB}=\frac{6{v}_{0}{t}_{0}}{5π}$．
由几何关系可得：L=r=$\frac{6{v}_{0}{t}_{0}}{5π}$．
（2）当速度为v时，${t}_{1}=\frac{{t}_{0}}{5}$，圆心角θ=60°，
有：qvB=$m\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得：R=$\frac{mv}{qB}=\frac{3v{t}_{0}}{5π}$．
根据几何关系得：d=Rsin60°=$\frac{3\sqrt{3}v{t}_{0}}{10π}$，
$R（1-cos60°）=\frac{qE}{2m}{t}^{2}$，
水平方向做匀速直线运动，位移为：x=vt，
根据运动的对称性及周期性知：2x+4nx=d （n=0、1、2、3…）
解得：E=$\frac{16}{3}Bv（2n+1）^{2}$．
在第Ⅲ区域中，带电粒子做圆周运动的半径为：$R′=\frac{R}{2}$，
即$\frac{mv}{qB′}=\frac{mv}{2qB}$，所以B′=2B．
答：（1）粒子的比荷$\frac{q}{m}$为$\frac{5π}{3B{t}_{0}}$、速度为2v₀的粒子从区域I射出时的位置离O₁的距离为$\frac{6{v}_{0}{t}_{0}}{5π}$．
（2）所加电场场强大小为$\frac{16}{3}Bv（2n+1）^{2}$，区域Ⅲ磁感应强度大小为2B．

点评 带电粒子在匀强磁场中的运动是整个高中的重点，也是高考的必考的内容，粒子的运动过程的分析是解题的关键．