Question

10．2015年9月30日7时13分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭成功将第4颗新一代北斗导航卫星送入倾角55°的倾斜地球同步轨道，新一代北斗导航卫星的发射，标志着我国在卫星研制、发射方面取得里程碑式的成功．关于该卫星到地心的距离r=3$\sqrt{G\frac{{{ab}^{2}c}^{3}}{3π}}$求出，已知式中G为引力常量，则关于物理量a、b、c的描述正确的是（　　）

• A． a是地球表面重力加速度，b是地球自转周期，c是卫星的加速度
• B． a是地球平均密度，b是地球自转周期，c是地球半径
• C． a是地球平均密度，b是卫星的加速度，c是地球自转的周期
• D． a是地球表面重力加速度，b是地球自转周期，c是地球半径

Answer 1

分析 由万有引力做向心力得到半径的表达式，然后根据地球质量与地球半径的关系及地球表面万有引力为重力求得重力加速度得到符合题意的a，b，c；然后将其他选项的物理量代入验证是否和已求得的表达式相同即可求解．

解答 解：B、卫星由万有引力做向心力，周期与地球自转周期T相同，故有$\frac{GMm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$，卫星的加速度$a=\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$，所以，$r=\root{3}{\frac{GM{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$，
设地球半径为R，密度为ρ，那么．$M=\frac{4}{3}πρ{R}^{3}$，所以，$r=\root{3}{G\frac{ρ{T}^{2}{R}^{3}}{3π}}$；故B正确；
A、由在地球表面重力即万有引力可得：$\frac{GMm}{{R}^{2}}=mg$，所以，$g=\frac{GM}{{R}^{2}}=\frac{4}{3}πρGR$；
$g{T}^{2}{a}^{3}=\frac{4}{3}πρGR×{T}^{2}×（\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r）^{3}≠ρ{T}^{2}{R}^{3}$，故A错误；
C、$ρ{a}^{2}{T}^{3}=\frac{64ρ{π}^{6}{r}^{3}}{T}≠ρ{T}^{2}{R}^{3}$，故C错误；
D、gT²R³≠ρT²R³，故D错其；
故选：B．

点评 卫星运动，一般由万有引力做向心力，进而求得速度、周期与半径的关系；亦可进一步将其中的物理量如G、M等用地球半径、重力加速度、自转周期等来表示．