Question

15．如图所示，一轨道由光滑竖直的$\frac{1}{4}$圆弧AB、粗糙水平面BC及光滑斜面CE组成，BC与CE在C点由极小光滑圆弧相切连接，一小球从A点正上方h=0.2m处P点自由下落，正好沿A点切线进入轨道，已知小球质量m=1kg，$\frac{1}{4}$竖直圆弧半径R=0.05m，BC长s=0.1m，小球过C点后t₁=0.3s第一次到达图中的D点，又经t₂=0.2s第二次到达D点．重力加速度取g=10m/s²．求：
（1）小球第一次离开圆弧轨道B点瞬时速度大小v_B和此时受轨道弹力大小；
（2）小球第一次经过C点时瞬间的速度大小v_C；
（3）小球与水平面BC间的动摩擦因数μ．

Answer 1

分析 （1）根据动能定理求出 小球第一次到达B点的速度，结合牛顿第二定律求出轨道对小球的弹力大小．
（2）根据牛顿第二定律求出小球在CE段的加速度，结合速度时间公式求出小球第一次经过C点时瞬间的速度大小．
（3）根据牛顿第二定律和速度位移公式求出小球在水平面上的动摩擦因数大小．

解答 解：（1）由动能定理知，$mg（h+R）=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$，
代入数据解得${v}_{B}=\sqrt{5}m/s$．
在圆弧轨道B点，根据牛顿第二定律有：${N}_{B}-mg=m\frac{{{v}_{B}}^{2}}{R}$，
代入数据解得N_B=110N．
（2）小球在CE段加速度a=$gsinθ=10×\frac{1}{2}=5m/{s}^{2}$，
由对称性及题意可知，小球从C点上滑到最高点用时t=0.4s．
则小球在C点的速度v_C=at=5×0.4m/s=2m/s．
（3）小球从B到C过程中，μmg=ma′，
${{v}_{B}}^{2}-{{v}_{C}}^{2}=2a′s$，
代入数据解得μ=0.5．
答：（1）小球第一次离开圆弧轨道B点瞬时速度大小为$\sqrt{5}$m/s，此时受轨道弹力大小为110N；
（2）小球第一次经过C点时瞬间的速度大小为2m/s；
（3）小球与水平面BC间的动摩擦因数为0.5．

点评 本题综合考查了动能定理和牛顿第二定律，运用动能定理解题注意选择合适的研究过程，列式进行求解．