Question

10．如图所示，在xOy平面坐标系中，直线MN与y轴成30°角，M点的坐标为（0，a），在y轴与直线MN之间的区域内，存在垂直xOy平面向里、磁感应强度为B的匀强磁场．电子束以相同速度v₀从y轴上-$\frac{2}{3}$a≤y≤0的区间垂直于y轴和磁场射入磁场．已知从O点射入磁场的电子在磁场中的运动轨迹恰好与直线MN相切，忽略电子间的相互作用和电子的重力．
（1）求电子的比荷；
（2）若在xOy坐标系的第Ⅰ象限加上沿y轴正方向、大小为E=Bv₀的匀强电场，在x₀=$\frac{4}{3}$a处垂直于x轴放置一荧光屏，计算说明荧光屏上发光区的形状和范围．

Answer 1

分析 （1）先画出O点射入磁场的电子在磁场中的运动轨迹，结合几何关系求解轨道半径，然后根据牛顿第二定律列式求解比荷；
（2）从（0，-$\frac{4}{3}a$）位置进入磁场的电子恰好由O点过y轴，不受电场力，沿x轴正方向做直线运动；从O点射入磁场的电子（0，$\frac{2}{3}a$）的位置进入匀强电场，电子进入电场后做类平抛运动，离开电场后做匀速直线运动，根据类似平抛运动的分运动公式列式求解．

解答 解：（1）从O点射入磁场的电子在磁场中的运动轨迹如图所示，由几何关系有：

$r+\frac{r}{sin30°}=a$ ①
解得：
$r=\frac{a}{3}$ ②
电子在磁场中运动时，洛伦兹力等于向心力，即：
$eB{v}_{0}=m\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$ ③
由②③解得电子比荷：
$\frac{e}{m}=\frac{3{v}_{0}}{Ba}$ ④
（2）由电子的轨道半径可判断，从O点射入磁场的电子（0，$\frac{2}{3}a$）的位置进入匀强电场，电子进入电场后做类平抛运动，有：
2r=$\frac{eE}{2m}{t}^{2}$ ⑤
x=v₀t ⑥
联立②④⑤⑥，将E=Bv₀代入解得：
x=$\frac{2}{3}a$ ⑦
设该电子穿过x轴时速度与x轴正方向成θ角，则：
${v}_{y}=\frac{eE}{m}t$ ⑧
tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$ ⑨
解得：tanθ=2 ⑩
设该电子打在荧光屏上的Q点，Q点离x轴的距离为L，则：
L=（x₀-x）tanθ=$\frac{4}{3}a$⑪
即电子打在荧光屏上离x轴的最远距离为：
L=$\frac{4}{3}a$
而从（0，-$\frac{4}{3}a$）位置进入磁场的电子恰好由O点过y轴，不受电场力，沿x轴正方向做直线运动，打在荧光屏与x轴相交的点上，所以荧光屏上在y坐标分别为0、-$\frac{4}{3}a$的范围内出现一条长亮线；
答：（1）电子的比荷为$\frac{3{v}_{0}}{Ba}$；
（2）若在xOy坐标系的第Ⅰ象限加上沿y轴正方向、大小为E=Bv₀的匀强电场，在x₀=$\frac{4}{3}$a处垂直于x轴放置一荧光屏，则荧光屏上在y坐标分别为0、-$\frac{4}{3}a$的范围内出现一条长亮线．

点评 本题关键是明确电子的受力情况和运动情况，画出临界轨迹，然后结合类似平抛运动的分运动公式、牛顿第二定律、几何关系列式求解，不难．