Question

如图所示，两个带等量异种电荷、竖直放置的、电容为C、间距为d的平行金属板，两板之间的电场可视为匀强电场．此外两板之间还存在一种物质，使小球受到一个大小为F=kv（k为常数，v为小球速率）方向总是沿背离圆心的力．一个质量为m，带电量为-q的小球，用长为L（L＜d）的不可伸长细线悬挂于O点，将小球拉至水平位置M，由静止释放，当小球向下摆过60°到达N点时，速度恰为零．（细线始终处于伸直状态）则：
（1）左极板带电量Q是多少？
（2）小球到达N点时的加速度大小是多少？
（3）小球的最大速度是多少？此时细线上的拉力是多少？

Answer 1

分析：（1）从M到N的过程中电场力和重力做功，由动能定理求得电场力和重力的关系，结合公式C=

Q

U

和E=

U

d

求得极板上的电量；
（2）球在N点的加速度方向垂直ON沿切线向上，对在N点的小球进行受力分析，将电场力和重力正交分解，使用牛顿第二定律即可；
（3）小球速度最大时在MN弧的中点P处，对球从M到P由动能定理求得速度，此时小球受到的重力、电场力、细绳上的拉力和F提供小球做圆周运动的向心力，写出运动学的方程，求解即可．

解答：解：（1）设两板间电势差为U、场强为E
由C=

Q

U

和E=

U

d

得     E=

Q

Cd

①
对球，从M到N由动能定理有mgLsin60°-qEcos60°=0-0
所以     qE=mgtan60°=

3

mg②
由①②Q=

3 mgCd

q

（2）球在N点的加速度方向垂直ON沿切线向上，在N点受力分析，将电场力和重力正交分解，在切线方向有qEcos30°-mgcos60°=maa=

qEcos30°-mgcos60°

m

=

3 mg 3 2 -mg 1 2

m

=g
（或由单摆的对称性得M、N两处加速度大小相等均为a=g）
（3）小球速度最大时在MN弧的中点P处，对球从M到P由动能定理有mgLsin30°-qEL(1-cos30°)=

1

2

mv2-0
解得  v=

(4-2 3 )gL

=(

3

-1)

gL

在P点对球受力分析，设线上拉力为F．此时细绳的方向与重力和电场力的合力在同一条直线上，合力充当向心力有F-kv-

(mg)2+(qE)2

=m

v2

L

解得           F=(6-2

3

)mg+k(

3

-1)

gL

答：（1）左极板带电量Q=

3 mgCd

q

；
（2）小球到达N点时的加速度大小为g；
（3）小球的最大速度是(

3

-1)

gL

，此时细线上的拉力F=(6-2

3

)mg+k(

3

-1)

gL

．

点评：该题中带电的小球在重力和电场力的复合场中做类单摆运动，需要正确对运动的过程和小球的受力减小分析．该题中需要注意的是：小球速度最大时重力、电场力、细绳上的拉力和F提供小球做圆周运动的向心力．