题目内容
质量为m的小球由长为L的细线系住，细线的另一端固定在 A点，AB是过A的竖直线，且AB=L，E为AB的中点，过E作水平线 EF，在EF上某一位置钉一小钉D，如图所示．现将小球悬线拉至水平，然后由静止释放，不计线与钉碰撞时的机械能损失．（1）若钉子在E点位置，则小球经过B点前后瞬间，绳子拉力分别为多少？
（2）若小球恰能绕钉子在竖直平面内做圆周运动，求钉子D的位置离E点的距离x．
（3）保持小钉D的位置不变，让小球从图示的P点静止释放，当小球运动到最低点时，若细线刚好达到最大张力而断开，最后小球运动的轨迹经过B点．试求细线能承受的最大张力T．
【答案】分析：（1）若钉子在E点位置，则小球经过B点前后瞬间，速度大小不变，半径变为原来一半，先根据动能定理求出到达B点的速度，再根据向心力公式分别求出绳子的拉力；
（2）小球恰好能在竖直平面内做圆周运动，在最高点重力提供向心力，列出方程，从释放到运动到最高点的过程中运用动能定理列出方程，联立即可求解；
（3）小球做圆周运动到达最低点时，根据向心力公式列出方程，以后小球做平抛运动过B点，根据平抛运动的特点在水平和竖直方向列出方程，联立即可求解；
解答：解：（1）小球从M点到B点的过程中，根据动能定理得：
mgL=
mv2
碰前：T1-mg=m
解得：T1=3mg
碰后：T2-mg=m
解得：T2=5mg
（2）小球恰好能在竖直平面内做圆周运动，在最高点时有速度v1，此时做圆周运动的半径为r，
则mg（
-r）=
mv12 ①
且mg=m
②
由几何关系：x2=（L-r）2-（
）2 ③
由以上三式可得：
r=
④
x=
L ⑤
（3）小球做圆周运动到达最低点时，速度设为v2则
T-mg=m
⑥
以后小球做平抛运动过B点，
在水平方向有x=v2t ⑦
在竖直方向有：
-r=
gt2 ⑧
由④⑤⑥⑦⑧式可得：T=
mg
答：（1）若钉子在E点位置，则小球经过B点前后瞬间，绳子拉力分别为3mg，5mg；
（2）若小球恰能绕钉子在竖直平面内做圆周运动，钉子D的位置离E点的距离x为
．
（3）细线能承受的最大张力T为
．
点评：本题考查的知识点比较多，涉及到圆周运动、平抛运动的基本公式，要求同学们解题时能熟练运用动能定理并结合几何知识解题，难度较大．
（2）小球恰好能在竖直平面内做圆周运动，在最高点重力提供向心力，列出方程，从释放到运动到最高点的过程中运用动能定理列出方程，联立即可求解；
（3）小球做圆周运动到达最低点时，根据向心力公式列出方程，以后小球做平抛运动过B点，根据平抛运动的特点在水平和竖直方向列出方程，联立即可求解；
解答：解：（1）小球从M点到B点的过程中，根据动能定理得：
mgL=
mv2碰前：T1-mg=m
解得：T1=3mg
碰后：T2-mg=m
解得：T2=5mg
（2）小球恰好能在竖直平面内做圆周运动，在最高点时有速度v1，此时做圆周运动的半径为r，
则mg（
-r）=
mv12 ①且mg=m
②由几何关系：x2=（L-r）2-（
）2 ③由以上三式可得：
r=
④x=
L ⑤（3）小球做圆周运动到达最低点时，速度设为v2则
T-mg=m
⑥以后小球做平抛运动过B点，
在水平方向有x=v2t ⑦
在竖直方向有：
-r=
gt2 ⑧由④⑤⑥⑦⑧式可得：T=
mg答：（1）若钉子在E点位置，则小球经过B点前后瞬间，绳子拉力分别为3mg，5mg；
（2）若小球恰能绕钉子在竖直平面内做圆周运动，钉子D的位置离E点的距离x为
．（3）细线能承受的最大张力T为
．点评：本题考查的知识点比较多，涉及到圆周运动、平抛运动的基本公式，要求同学们解题时能熟练运用动能定理并结合几何知识解题，难度较大．
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