Question

20．如图所示，在A点固定一正点电荷，电荷量为Q，在离A点高度为H的C处由静止释放某带电小球（可视为点电荷），开始运动瞬间小球的加速度大小恰好为重力加速度g．已知静电力常量为k，不计空气阻力．求：
（1）小球所带电荷的性质和电荷量大小；
（2）小球运动多远时速度最大；
（3）若已知在点电荷Q的电场中，某点的电势可表示成φ=$\frac{kQ}{r}$，其中r为该点到Q的距离（选无限远的电势为零）．求小球能到达的最高点离地面的高度．

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律，通过瞬间的加速度求出小球的比荷．
（2）当小球加速度为零时，速度最大，根据重力和库仑力平衡求出小球速度最大时离A点的距离．
（3）根据动能定理，通过最高点速度为零，求出小球能到达的最高点离A点的高度．

解答 解（1）设小球的电量为q，质量为m，
由题意知，小球受到库仑力与重力方向相反，而A点电荷带正电，则小球带正电；
根据牛顿第二定律，当小球在C点时，k$\frac{qQ}{{H}^{2}}$-mg=mg；      
解得：q=$\frac{2mg{H}^{2}}{kQ}$
（2）当小球速度最大时k$\frac{Qq}{{h}^{2}}$=mg
得 h=$\sqrt{2}$H
（3）设BC间的电势差大小U_CB，由题意得
U_CB=ϕ_C-ϕ_B=$\frac{kQ}{H}$-$\frac{kQ}{{r}_{B}}$
对由释放至小球到达最高点（速度为零）的全过程应用动能定理得qU_CB-mg（r_B-H）=0  
即q（$\frac{kQ}{H}$-$\frac{kQ}{{r}_{B}}$）-mg（r_B-H）=0
将第（1）问的结果代入化简  r_B²-3Hr_B+2H²=0
解得r_B=2H   r_B′=H（舍去）   
答：（1）小球的电荷量为$\frac{2mg{H}^{2}}{kQ}$．
（2）小球速度最大时离A点的距离$\sqrt{2}$H．
（3）小球能到达的最高点离A点的高度为2H．

点评 解决本题的关键知道液珠的加速度为零时，速度最大，以及能够熟练运用动能定理和电场力做功公式W=qU．