题目内容

9．如图所示，倾角为θ的光滑倾斜轨道在最底端与一半径为r的光滑半圆弧轨通过极短的一小段光滑曲轨道平滑连接，使半圆轨道的最高点、圆心、最低点在同一竖直线上，让一质量为m的小球从倾斜轨道上某一位置由静止释放
（1）如果小球对圆弧轨道的最大压力不能超过7mg，求小球释放点高度h的范围？（用r表示）
（2）如果在运动过程中要求小球不在轨道最高点和最低点之间脱离轨道，求小球释放点高度h的范围？（用r表示）
（3）试判断小球有没有可能垂直落在斜面上，若能，斜面倾角θ具体应满足什么条件？若不能，请说明理由．

分析 （1）小球在最低点对轨道的压力最大，根据牛顿第二定律求出最低点的最大速度，结合动能定理求出最大高度．
（2）小球在轨道最高点和最低点之间不脱离轨道，一种情况是能够越过最高点，另一种情况是不越过四分之一轨道，结合牛顿第二定律和动能定理求出释放点高度的范围．
（3）根据平抛运动的规律，结合几何关系判断小球能否垂直落在斜面上，根据平抛运动初速度的条件得出斜面倾角满足的条件．

解答 解：（1）小球在最低点对轨道的压力最大，根据${F}_{N}-mg=m\frac{{v}^{2}}{r}$得小球在最低点的速度为：
v=$\sqrt{6gr}$，
根据动能定理得：mgh=$\frac{1}{2}m{v}^{2}-0$，
解得：h=3r．
可知小球释放点高度h的范围为h≤3r．
（2）小球在最高点，根据mg=$m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{r}$得：${v}_{1}=\sqrt{gr}$，
根据动能定理得：$mg（h-2r）=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}-0$，
解得：h=2.5r．
若小球恰好到达四分之一圆环轨道处，根据动能定理得：mg（h′-r）=0-0，
解得：h′=r，
可知小球释放点高度h的范围为h≥2.5r 或 h≤r．
（3）由平抛运动规律和几何关系可知，$tanθ=\frac{{v}_{0}}{gt}$，解得：t=$\frac{{v}_{0}}{gtanθ}$，
小球的竖直位移为：y=$\frac{1}{2}g{t}^{2}=\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2gta{n}^{2}θ}$，
落点到最低点的高度差为x，且x=v0ttanθ，解得：x=$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{g}$，
由几何关系知：x+y=2r，
联立解得：${{v}_{0}}^{2}$=$\frac{4grta{n}^{2}θ}{2ta{n}^{2}θ+1}$，
若能垂直落在斜面上，要满足${{v}_{0}}^{2}$=$\frac{4grta{n}^{2}θ}{2ta{n}^{2}θ+1}$＞gr，该式有解，解得tanθ$≥\frac{\sqrt{2}}{2}$．
即小球能垂直落在斜面上，斜面倾角应满足tanθ$≥\frac{\sqrt{2}}{2}$．
答：（1）如果小球对圆弧轨道的最大压力不能超过7mg，小球释放点高度h的范围为h≤3r．
（2）如果在运动过程中要求小球不在轨道最高点和最低点之间脱离轨道，小球释放点高度h的范围为h≥2.5r 或 h≤r．
（3）能，斜面倾角应满足tanθ$≥\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题综合考查了动能定理与圆周运动和平抛运动的综合，知道圆周运动向心力的来源和平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律是解决本题的关键．

练习册系列答案
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19．如图所示，两条平行的水平导轨FN、EQ的间距为L，导轨的左侧与两条竖直固定、半径为r的$\frac{1}{4}$光滑圆弧轨道平滑相接，圆弧轨道的最低点与导轨相切，在导轨左边宽度为d的EFHG矩形区域内存在磁感应强度大小为B、方向竖直向上的匀强磁场，且在磁场的右边界、垂直导轨放有一金属杆甲，右边界处无磁场．现将一金属杆乙从$\frac{1}{4}$圆弧轨道的最高点PM处由静止释放，金属杆乙滑出磁场时，与金属杆甲相碰（作用时间极短）并粘连一起，最终它们停在距磁场右边界为d的虚线CD处．已知金属杆甲、乙的质量均为m，接入电路的电阻均为R，它们与导轨间的动摩擦因数均为μ，且它们在运动过程中始终与导轨间垂直且接触良好，导轨的电阻不计，重力加速度大小为g．求：
（1）金属杆乙通过圆弧轨道最低点时受到的支持力大小N；　
（2）整个过程中，感应电流通过金属杆甲所产生的热量Q；
（3）金属杆乙通过磁场过程中通过其横截面的电荷量q．
20．避险车道是避免恶性交通事故的重要设施，由制动坡床和防撞设施等组成，如下图所示，在竖直平面内，制动坡床可视为与水平面夹角为θ的斜面．一辆长15m的载有货物的货车因刹车失灵从干道驶入制动坡床，当车速为30m/s时，车尾恰好位于制动坡床的底端，货物开始在车厢内向车头滑动，当货物在车厢内滑动了4m时，车头距制动坡床顶端30m，再过一段时间，货车停止．已知货车质量是货物质量的4倍，货物与车厢间的动摩擦因数为0.3；货车在制动坡床上运动时受到的坡床阻力大小为货车和货物总重的0.34倍．货物与货车可分别视为小滑块和平板，取cosθ=1，sinθ=0.1，g=10m/s2．求：
（1）货物在货车车厢内滑动时加速度的大小；
（2）货车在制动坡床上运动时的加速度大小；
（3）制动坡床的长度．
17．如图所示，AB为光滑且足够长斜面轨道，通过一小段光滑圆弧与光滑水平轨道BC相连接（图中未标出），质量为 M 的小球乙静止于水平轨道上，质量为m=1kg的小球甲以速度v0=4m/s与乙球发生弹性正碰，碰后乙球沿水平轨道滑向斜面 AB，已知小球乙在斜面上能达到最大高度为h=0.2m．重力加速度取g=10m/s2．求：
（1）小球乙第一次被小球甲碰撞之后的瞬时速度大小；
（2）小球乙的质量 M．
4．下列运动过程中，在任意相等时间内，物体的动量变化量相等的是（　　）
A．匀速圆周运动B．任意的匀变速直线运动
C．平抛运动D．竖直上抛运动
14．某同学用如图1所示电路测绘标有“3.8V，0.3A”的小灯泡的灯丝电阻R随电压U变化的图象．
（1）除了导线和开关外，有以下一些器材可供选择：
电流表：A1：（量程100mA，内阻约2Ω）；A2：（量程0.6A，内阻约0.3Ω ）；
电压表：V1（量程5V，内阻约5KΩ）；V2（量程15V，内阻约15KΩ）；
滑动变阻器：R1（阻值范围0～10Ω）
滑动变阻器：R2（阻值范围0～2KΩ）
电源：E1（电动势为1.5V，内阻为0.2Ω  ）；  E2（电动势为4V，内阻约为0.04Ω ）．
为了调节方便，测量准确，实验中应选用电流表A2，电压表V1，滑动变阻器R1，电源E2．（填器材的符号）
（2）根据实验数据，计算并描绘出R-U的图象如图2所示．由图象可知，此灯泡在不工作时，灯丝电阻为6.0Ω；当所加电压为3.00V时，灯丝电阻为11Ω，灯泡实际消耗的电功率为0.82W．

（3）根据R-U图象，可确定小灯泡消耗电功率P与外加电压U的关系．符合该关系的示意图是下列图3中的A．
1．新华网报道：长征五号运载火箭在中国文昌航天发射场垂直转运至发射区，计划于2017年7月2日至7月5日择机发射．长征五号遥二火箭搭载发射的是我国自主研发的实践18号卫星，假设卫星送入离地面870km的轨道，这颗卫星的运行速度为：（已知地球半径为6400km）（　　）
A．7.9km/sB．11.2 km/sC．7.4 km/sD．16.7 km/s
18．下列说法正确的是（　　）
A．匀速圆周运动是一种匀速运动
B．匀速圆周运动是一种匀变速运动
C．物体做匀速圆周运动时其向心力垂直于线速度方向，不改变线速度的大小
D．以上说法都不正确
19．下列各组的四个物理量中都是矢量的是（　　）
A．位移、时间、速度、加速度B．速度、速率、时间、加速度
C．位移、速度、路程、质量D．重力、速度、加速度、位移

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