Question

8．如图甲所示，物块A，B的质量分别是m_A=4kg和m_B=3kg，用轻弹栓接两物块放在光滑的水平地面上，物块B的右侧与竖直墙面接触．另有一物块C从t=0时刻起，以一定的速度向右运动，在t=4s时与物块A相碰，并立即与A粘在一起不再分开，物块C的v-t图象如图乙所示．求：

（1）物块C的质量m_C；
（2）在B离开墙壁后的过程中弹簧具有最大弹性势能E_P弹；
（3）请根据一下信息推导弹簧振子做简谱运动的周期公式T：
将一劲度系数为k的轻质弹簧竖直悬挂，下端系上质量为m的物块．将物块向下拉离平衡位置后松开，物块上下做简谐运动，其振动周期恰好等于以物块平衡时弹簧的伸长量为摆长的单摆周期．请由单摆的周期公式推算出该物块做简谐运动的周期T；
（4）一直弹簧振子水平放置和竖直放置时做简谱运动的周期相同，请利用第（3）问中弹簧振子的周期公式的推导结果，求解本题中弹簧的劲度系数k．

Answer 1

分析 （1）AC碰撞过程动量守恒，由动量守恒定律可以求出C的质量．
（2）12s末B离开墙壁，之后A、B、C及弹簧组成的系统动量和机械能守恒；当AC与B速度相等时弹簧弹性势能最大．
（3）通过单摆的周期公式T=2π 及在平衡位置时kl=mg联合求解

解答 解：（1）由图知，C与A碰前速度为v₁=9m/s，碰后速度为v₂=3m/s，
C与A碰撞过程动量守恒，以C的初速度反方向为正方向，由动量守恒定律得：
m_Cv₁=（m_A+m_C）v₂，
代入数据解得：m_C=2kg；
（2）12s，B离开墙壁，之后A、B、C及弹簧组成的系统动量和机械能守恒，且当A．C与B速度相等时，弹簧弹性势能最大，以A的速度方向为正方向，
由动量守恒定律得：
（m_A+m_C）v₃=（m_A+m_B+m_C）v₄，
由机械能守恒定律得：$\frac{1}{2}（{m}_{A}+{m}_{C}）{v}_{3}^{2}$=$\frac{1}{2}（{m}_{A}+{m}_{B}+{m}_{C}）$${v}_{4}^{2}$+E_P，
代入数据解得：E_P=9J；
（3）单摆周期公式：T=2π$\sqrt{\frac{l}{g}}$；
根据平衡条件，有：kl=mg
联立解得：
T=2π$\sqrt{\frac{m}{k}}$
（4）由题意，根据公式T=2π$\sqrt{\frac{m}{k}}$
解得k=$\frac{4{π}^{2}m}{{T}^{2}}$
答：（1）物块C的质量为2kg；
（2）B离开墙后弹簧具有的最大弹性势能为9J（3）该物块做简谐运动的周期T为2π$\sqrt{\frac{m}{k}}$（4）本题中弹簧的劲度系数$\frac{4{π}^{2}m}{{T}^{2}}$

点评 分析清楚物体的运动过程、正确选择研究对象是正确解题的关键，应用动量守恒定律、能量守恒定律、动量定理即可正确解题．本题关键是根据单摆的周期公式和共点力平衡条件列式求解，基础问题