Question

8．如图所示，光滑水平面上长l=1m的轻质细杆一端与竖直转轴O连接，另一端固定一高度很小的小圆筒，它们一起绕转轴O匀速转动．当小圆筒运动到图示位置时，一直径略小于小圆筒口径的小球从高度h=1.25m的P处水平抛出，抛出点距小圆筒的水平距离x₀=0.5m，结果小球恰好落入圆筒中．重力加速度g=10m/s²，求
（1）小球水平抛出的初速度v₀；
（2）小圆筒绕转轴转动的角速度ω须满足的条件．

Answer 1

分析 （1）小球做平抛运动，根据下落的高度求解运动的时间，分小圆筒运动到左侧和右侧两种情况，小球刚好落入，根据水平方向做匀速直线运动求解初速度；
（2）若小圆筒运动到左侧时小球落入，小圆筒转动的角速度须满足：$t=n•\frac{2π}{ω_1}$（n=1、2、3…），若小圆筒运动到右侧时小球落入，小圆筒转动的角速度须满足：$t=（n+\frac{1}{2}）•\frac{2π}{ω_2}$（n=0、1、2、3…），据此求解即可．

解答 解：（1）小球做平抛运动，设小球运动时间为t，有$h=\frac{1}{2}g{t^2}$
若小圆筒运动到左侧时小球落入，有x₀=v₀₁t
解得：v₀₁=1m/s        
若小圆筒运动到右侧时小球落入，有2l+x₀=v₀₂t
解得：v₀₂=5m/s       
（2）若小圆筒运动到左侧时小球落入，小圆筒转动的角速度须满足：$t=n•\frac{2π}{ω_1}$（n=1、2、3…）    
解得：ω₁=4nπ（n=1、2、3…）  
若小圆筒运动到右侧时小球落入，小圆筒转动的角速度须满足：$t=（n+\frac{1}{2}）•\frac{2π}{ω_2}$（n=0、1、2、3…）    
解得：ω₂=2（2n+1）π（n=0、1、2、3…） 
答：（1）小球水平抛出的初速度为1m/s或5m/s；
（2）小圆筒绕转轴转动的角速度ω须满足的条件为ω₁=4nπ（n=1、2、3…）或ω₂=2（2n+1）π（n=0、1、2、3…）．

点评 本题主要考查了平抛运动基本公式及圆周运动角速度和周期关系公式的直接应用，结题时一定要主要要分两种情况讨论，并且要注意圆周运动的周期性．