题目内容

15．如图所示，y轴上M点的坐标为（0，L），MN与x轴平行，MN与x轴之间有匀强磁场区域，磁场垂直纸面向里．在y＞L的区域存在沿-y方向的匀强电场，电场强度为E，在坐标原点O点有一正粒子以速率v0沿+x方向射入磁场，粒子穿出磁场进入电场，速度减小到0后又返回磁场．已知粒子的比荷为$\frac{q}{m}$，粒子重力不计．
（1）求匀强磁场的磁感应强度的大小；
（2）从原点出发后带电粒子第一次经过x轴，洛伦兹力的冲量；
（3）经过多长时间，带电粒子再次经过x轴．

分析 （1）由题设，粒子穿出磁场进入电场，速度减小到0后又返回磁场，则粒子在电场中做直线运动，那么判断出粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径即为L，由洛仑兹力提供向心力就能求出磁感应强度的大小．
（2）由于洛仑兹力是变力，其冲量--即力对时间的累积，无法计算，但可以由动量定理来求，在该过程中粒子分两段受力，这两段所受力冲量的矢量和，就是粒子动量的变化．而电场力的冲量能够求出，洛仑兹力的冲量也就求出．
（3）先求出第一次经过x轴的时间，考虑粒子运动的多解性，能求出第n次经过x轴的时间．

解答 解：（1）沿+x方向射入磁场的粒子进入电场后，速度减小到0，粒子一定是从如图所示的点P沿y轴正方向射出磁场，逆着电场线运动，所以粒子在磁场中做圆周运动的半径为：
r=L
根据$Bqv=\frac{m{v}^{2}}{r}$ 解得：B=$\frac{m{v}_{0}}{qL}$
（2）带电粒子在匀强电场中运动过程中，由动量定理，电场力的冲量为：
I电=-mv0-mv0=-2mv0，
电场力的冲量大小是2mv0   方向沿y轴负方向，从原点出发后带电粒子第一次经过x轴，由动量定理有：
IL+I电=mv0-mv0
所以，洛仑兹力的冲量为：IL=-I电=2mv0．
故洛仑兹力的冲量为2mv0，方向沿y轴正方向．
（3）粒子返回磁场后，带电粒子再做匀速圆周运动，
带电粒子在匀强磁场的时间为：${t}_{1}=\frac{πL}{{v}_{0}}$
带电粒子在在匀强电场的时间为：${t}_{2}=\frac{2{v}_{0}}{\frac{qE}{m}}=\frac{2m{v}_{0}}{qE}$
从原点出发后带电粒子第一次经过x轴的时间为：t=t1+t2=$\frac{πL}{{v}_{0}}+\frac{2m{v}_{0}}{qE}$
考虑周期性，带电粒子再次经过x轴的时间为：t′=nt=n（$\frac{πL}{{v}_{0}}+\frac{2m{v}_{0}}{qE}$）    （n=1，2，3，…）
答：（1）求匀强磁场的磁感应强度的大小为$\frac{m{v}_{0}}{qL}$．
（2）从原点出发后带电粒子第一次经过x轴，洛伦兹力的冲量为2mv0，方向沿y轴正方向．
（3）经过n（$\frac{πL}{{v}_{0}}+\frac{2m{v}_{0}}{qE}$）    （n=1，2，3，…） 时间，带电粒子再次经过x轴．

点评 本题物理过程比较明显，规律应用不存在误区．但要注意的是第二问，洛仑兹力的冲量，洛仑兹力是变力，而冲量是矢量，即使把每一段的冲量求矢量和，这是高中阶段无法计算的，所以要换一种思路，由动量定理求解．

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