Question

17．如图所示，OA、OB为圆内两光滑细直杆，OA为直径，OB与竖直方向的夹角为60．两个中间有孔、相同的小球穿过直杆放置于A、B两点．现同时由静止释放两球，以下说法正确的是（　　）

• A． a、b两球同时到达O点
• B． a、b两球到达O点时速度大小相等
• C． 从开始运动到O点，a球重力势能减少是b球重力势能减少的4倍
• D． a、b两球到达O点时，a球重力的功率是b球重力功率的2倍

Answer 1

分析 根据牛顿第二定律和运动学公式，几何关系比较运动的时间，根据动能定理比较到达O点的速度大小．根据重力做功比较重力势能的变化量．根据到达底端的速度关系以及功率的公式比较重力的功率之间的关系．

解答 解：A、小球在OB杆上下滑的加速度$a=gsin30°=\frac{1}{2}g$，OB的长度s_OB=2Rsin30°=R，根据${s}_{OB}=\frac{1}{2}a{{t}_{b}}^{2}$得，${t}_{b}=\sqrt{\frac{2R}{\frac{1}{2}g}}=\sqrt{\frac{4R}{g}}$，
小球a做自由落体运动，${t}_{a}=\sqrt{\frac{2×2R}{g}}=\sqrt{\frac{4R}{g}}$，可知t_a=t_b．故A正确．
B、根据动能定理知，$mgh=\frac{1}{2}m{v}^{2}$，下降的高度不同，则a、b两球到达O点的速度大小不等，故B错误．
C、两球下降的高度不同，则重力势能的减小量不同，故C错误．
D、根据几何关系得，A、B两点下降的高度之比为4：1，根据动能定理知，$mgh=\frac{1}{2}m{v}^{2}$，v=$\sqrt{2gh}$，则到达底端的速度之比v_a：v_b=2：1，a球到达O点时重力的功率P=mgv_a，b球到达O点时重力的功率$P′=mg{v}_{b}cos60°=\frac{1}{2}mg{v}_{b}$，可知a球重力的功率是b球重力的功率为4：1，故D错误．
故选：A．

点评 本题考查了动能定理、牛顿第二定律和运动学公式的综合运用，掌握瞬时功率的公式，知道本题是一个“等时圆”问题，a、b两球到达底端的时间相等．