Question

1．如图所示是发射地球同步卫星的简化轨道示意图，先将卫星发射至距地面高度为h₁的近地圆轨道Ⅰ上，在卫星过A点时点火实施变轨，进入远地点为B的椭圆轨道Ⅱ上，过B点时再次点火，将卫星送入地球同步圆轨道Ⅲ．已知地球表面的重力加速度为g，地球自转周期为T，地球半径为R．求：
（1）卫星在近地圆轨道Ⅰ上运行的线速度v₁大小；
（2）同步圆轨道Ⅲ距地面的高度h₂．

Answer 1

分析 （1）卫星近地点A的加速度由万有引力提供，求出万有引力加速度就可以，在地球表面，重力和万有引力相等，由此可以求出卫星在近地圆轨道Ⅰ上运行的线速度v₁大小；
（2）在地球同步卫星轨道，已知卫星的周期求出卫星的轨道高度．

解答 解：（1）在地球表面，重力等于万有引力，故有：mg=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$
得地球质量M=$\frac{{gR}^{2}}{G}$
卫星在近地轨道I上的速度大小v=$\sqrt{\frac{GM}{R{+h}_{1}}}$=$\sqrt{\frac{{gR}^{2}}{R{+h}_{1}}}$
（2）因为B在地球同步卫星轨道，周期T，卫星受地球的万有引力提供向心力，故有：
G$\frac{Mm}{{（R+h）}^{2}}$=m（R+H）（$\frac{2π}{T}$）²
所以有：
H=$\root{3}{\frac{{{gR}^{2}T}^{2}}{{4π}^{2}}}$-R
答：（1）卫星在近地轨道I上的速度大小v=$\sqrt{\frac{{gR}^{2}}{R{+h}_{1}}}$；
（2）远地点B距地面的高度H=$\root{3}{\frac{{{gR}^{2}T}^{2}}{{4π}^{2}}}$-R．

点评 根据卫星运动时万有引力提供向心力和在地球表面重力等于万有引力分别列方程求解．会写向心力的不同表达式．