Question

12．随着空间技术的发展，人类对月球的探索正在不断深入，假设在不远的将来人们将月球上的矿藏开采运回地球，月球的质量逐步减少（只考虑月球和地球质量的变化带来的影响，不考虑其他）若干年后，下列说法正确的是（　　）

• A． 月球环绕地球的周期变小
• B． 月球环绕地球的向心加速度变小
• C． 月球环绕地球的线速度变大
• D． 地球受到月球的引力减小

Answer 1

分析 根据万有引力定律，表示出地球与月球间万有引力，根据地球和月球质量的变化求出地球与月球间万有引力的变化．
研究月球绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，列出等式表示出周期，再根据已知量找出周期的变化．

解答 解：A、设月球质量为m，地球质量为M，月球与地球之间的距离为r，开始时月球做匀速圆周运动，受到的向心力等于万有引力，即：
$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$①
设第一次车月球采回m₀的矿石时，月球的线速度还没有来得及变化，半径也没有变化，二者之间的万有引力：$F′=\frac{G（M+{m}_{0}）（m-{m}_{0}）}{{r}^{2}}$ ②
此时月球做匀速圆周运动需要的向心力：${F}_{n}′=（m-{m}_{0}）•\frac{{v}^{2}}{r}$ ③
联立①③得：${F}_{n}′=G\frac{M（m-{m}_{0}）}{{r}^{2}}＜F′=\frac{G（M+{m}_{0}）（m-{m}_{0}）}{{r}^{2}}$  ④
可知此时月球u哦圆周运动需要的向心力小于提供的向心力，所以月球开始做向心运动．
假定一定的时间后，地球仍可看作是均匀的球体，月球仍做匀速圆周运动，则月球做圆周运动的轨道半径r减小，地球的质量增大，
根据万有引力提供向心力得：$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$，得：T=2π$\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$
随着地球质量的逐步增加，轨道半径r减小，将使月球绕地球运动周期将变短．故A正确；
B、向心加速度：a=$\frac{GM}{{r}^{2}}$，由于地球的质量增大，轨道半径r减小，所以月球环绕地球的向心加速度变大．故B错误；
C、月球环绕地球的向心加速度变大则月球将做向心运动，轨道半径减小，根据万有引力提供向心力得：v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，可知月球环绕地球的线速度变大．故C正确；
D、根据万有引力定律得地球与月球间的万有引力为：F=$G\frac{Mm}{{r}^{2}}$，
由于不断把月球上的矿藏搬运到地球上，所以m减小，M增大．
由数学知识可知，当m与M相接近时，它们之间的万有引力较大，当它们的质量之差逐渐增大时，m与M的乘积将减小，它们之间的万有引力值将减小，故D正确．
故选：ACD

点评 该题中，质量M与m的乘积减小，二者之间的向心力减小．但是不能仅仅从向心力减小来说明月球做离心运动，要考虑到向心力减小的同时月球的质量也减小，所以要车向心加速度的角度来考虑月球是做向心运动还是离心运动．