Question

20．如图所示，一个半径为R的$\frac{1}{4}$透明球体放置在水平面上，一束蓝光从A点沿水平方向射入球体后经B点射出，最后射到水平面上的C点．已知OA=$\frac{R}{2}$，该球体对蓝光的折射率为$\sqrt{3}$．若将该束光的入射点从A点向上移动到离0的$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$R处的A₁处，仍沿水平方向射入球体后最终射在水平面上的C₁处，求CC₁的距离是多少？

Answer 1

分析 光线在B点折射时，根据几何关系求出入射角，通过折射定律求出折射角β．光束向上平移时，光线在圆弧面上的入射角增大，当入射角增大到等于临界角时光线将发生全反射，反射后最终射在水平面上的C₁处．由sinC=$\frac{1}{n}$求出临界角C，再由几何知识求解CC₁的距离．

解答 解：设从B点出射时的出射角为β，∠ABO=α
由sinα=$\frac{1}{2}$，得 α=30°
由n=$\frac{sinβ}{sinα}$，得 β=60°
过B点做OC的垂线，垂足为D，由几何关系得：
∠BCD=β-α=30°
所以 CD=$\frac{R}{2tan∠BCD}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$R
光速从A₁处沿水平方向射入球体，入射角为θ，sinθ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
发生全反射的临界角为 sinC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
显然 θ＞C，所以该束光到达半圆界面时要发生全反射，反射角等于45°，即垂直射在水平面上的C₁点，则有：OC₁=Rsin45°，OD=Rcosα=$\frac{\sqrt{3}}{2}$R
因此 $C{C_1}=OD+CD-O{C_1}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}R+\frac{{\sqrt{3}}}{2}R-\frac{{\sqrt{2}}}{2}R=\sqrt{3}R-\frac{{\sqrt{2}}}{2}R$
答：CC₁的距离是$\sqrt{3}$R-$\frac{\sqrt{2}}{2}$R．

点评 本题要熟练掌握光的折射定律和全反射条件，结合几何知识，即可研究这类问题．