题目内容
8．
某同学设计了如图所示的趣味实验来研究碰撞问题，用材料和长度相同的不可伸长的轻绳依次将N个大小相同、质量不等的小球悬挂于水平天花板下方，且相邻的小球静止时彼此接触但无相互作用力，小球编号从左到右依次为1、2、3、…、N，每个小球的质量为其相邻左边小球质量的k倍（k＜1）．在第N个小球右侧有一光滑轨道，其中AB段是水平的，BCD段是竖直面内的半圆形，两段光滑轨道在B点平滑连接，半圆轨道的直径BD沿竖直方向．在水平轨道的A端放置一与第N个悬挂小球完全相同的P小球，所有小球的球心等高．现将1号小球由最低点向左拉起高度h，保持绳绷紧状态由静止释放1号小球，使其与2号小球碰撞，2号小球再与3号小球碰撞…．所有碰撞均为在同一直线上的正碰且无机械能损失．已知重力加速度为g，空气阻力、小球每次碰撞时间均可忽略不计．（1）求1号小球与2号小球碰撞之前的速度v1的大小；
（2）若N=3，求第3个小球与P小球发生第一次碰撞前的速度v3的大小；
（3）若N=5，当半圆形轨道半径R=$\frac{32}{5}$h时，P小球第一次被碰撞后恰好能通过轨道的最高点D，求k值的大小．
分析 1、对于1号小球由h高运动到最低点过程，根据机械能守恒求出碰前的速度
2、对于1、2号小球碰撞的过程根据动量守恒定律和机械能守恒列出等式，对于2、3号小球碰撞的过程，根据动量守恒定律和机械能守恒求解
3、因为5号小球与P小球质量相等，可知二者发生碰撞后交换速度，根据牛顿第二定律得P小球在D速度，P小球由A到D的运动过程，根据机械能守恒求解．
解答 解：（1）设1号小球的质量为m1，碰前的速度为v1，
对于1号小球由h高运动到最低点过程，根据机械能守恒
${m_1}gh=\frac{1}{2}{m_1}{v_1}^2$
解得：${v_1}=\sqrt{2gh}$
（2）设1号、2号小球碰撞后的速度分别为v1′和v2，取水平向右为正方向．
对于1、2号小球碰撞的过程，根据动量守恒定律有
m1v1=m1v'1+m2v2
根据机械能守恒有 $\frac{1}{2}{m_1}{v_1}^2=\frac{1}{2}{m_1}{v'_1}^2+\frac{1}{2}{m_2}{v_2}^2$
解得：${v_2}=\frac{2}{1+k}\sqrt{2gh}$
设2号、3号小球碰撞后的速度分别为v2′和v3，
对于2、3号小球碰撞的过程，根据动量守恒定律有 m2v2=m2v'2+m3v3
根据机械能守恒有 $\frac{1}{2}{m_2}{v_2}^2=\frac{1}{2}{m_2}{v'_2}^2+\frac{1}{2}{m_3}{v_3}^2$
同理可解得：3号小球被碰后的速度 ${v_3}={（{\frac{2}{1+k}}）^2}\sqrt{2gh}$
即3号小球与P小球发生第一次碰撞前的速度大小 ${v_3}={（{\frac{2}{1+k}}）^2}\sqrt{2gh}$
（3）由（2）中的结果可推知5号小球被碰后的速度 ${v_5}={（{\frac{2}{1+k}}）^4}\sqrt{2gh}$
因为5号小球与P小球质量相等，可知二者发生碰撞后交换速度，
所以P小球第一次被碰撞后的速度 ${v_P}={（{\frac{2}{1+k}}）^4}\sqrt{2gh}$
P小球第一次被碰撞后恰好能通过圆轨道的最高点D，设其通过最高点的速度为vD，
根据牛顿第二定律P小球在D点有
${k^4}{m_1}g=\frac{{{k^4}{m_1}v_D^2}}{R}$
解得：${v_D}=\sqrt{gR}$
P小球由A到D的运动过程，机械能守恒有
$\frac{1}{2}{m_5}v_P^2={m_5}g•2R+\frac{1}{2}{m_5}v_D^2$
解得：${v_P}=\sqrt{5gR}$
将$R=\frac{32}{5}h$代入上式联立解得：$k=\sqrt{2}-1$
答：（1）1号小球与2号小球碰撞之前的速度v1的大小是$\sqrt{2gh}$；
（2）若N=3，求第3个小球与P小球发生第一次碰撞前的速度v3的大小是${（\frac{2}{1+k}）}^{2}\sqrt{2gh}$；
（3）若N=5，当半圆形轨道半径R=$\frac{32}{5}$h时，P小球第一次被碰撞后恰好能通过轨道的最高点D，k值的大小是$\sqrt{2}$-1．
点评 本题是利用动量守恒和机械能守恒联合解决一维碰撞问题的典型例子，其中由1号球的速度归纳第n+1号球的速度是关键，而且也是难点．
如图所示，翻滚过山车轨道顶端A点距地面的高度H=45m，圆形轨道最高处的B点距地面的高度h=30m．不计摩擦阻力，翻滚过山车从A点由静止开始下滑，g取10m/s2．试求：
如图所示，两个质量均为m的小球A和B用轻质弹簧连接，静止放在光滑水平面上．现给小球A一速度v，在弹簧第一次被压缩到最短的过程中，下列说法正确的是（ ）| A． | A、B两球的总动能不变 | |
| B． | A、B两球的总动量为mv | |
| C． | 弹簧对B球的作用力大于对A球的作用力 | |
| D． | 弹簧被压缩到最短时，A、B两球的总动能最小 |
如图所示为模拟街头变压器通过降压给用户供电的示意图，变压器输入的交流电压可视为不变．变压器输出的低压交流电通过输电线输送给用户．定值电阻R0表示输电线的电阻，变阻器R表示用户用电器的总电阻．若变压器为理想变压器，电表为理想电表，则在变阻器的滑片P向上移动的过程中（ ）| A． | V2示数变小 | B． | V1示数变大 | C． | A2示数变大 | D． | A1示数变小 |
在如图所示的电路中，L1、L2是两个相同的小灯泡，A、B处的虚线框内各接有一个电学元件．a、b两端分别与直流电源和交流电源相连接，且直流电源的电压与交流电源电压的有效值相等．观察两种情况下灯泡的亮度．当接直流电源时，L1不发光，L2正常发光；当接交流电源时，L1发光，L2明显变暗．则下列说法正确的是（ ）| A． | A中接的是电阻，B中接的是电容器 | |
| B． | A中接的是电感线圈，B中接的是电阻 | |
| C． | A中接的是电感线圈，B中接的是电容器 | |
| D． | A中接的是电容器，B中接的是电感线圈 |
如图所示，水平地面上方矩形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，两个用相同材料、相同粗细的导线绕制的单匝闭合正方形线圈l和2，其边长L1＞L2，在距磁场上界面h高处由静止开始自由下落，再逐渐完全进入磁场，最后落到地面．运动过程中，线圈平面始终保持在竖直平面内且下边缘平行于磁场上边界．设线圈l、2落地时的速度大小分别为v1、v2，在磁场中运动时产生的热世分别为Q1、Q1，通过线圈截面的电荷量分别为q1、q2，不计空气阻力，则（ ）| A． | v1＜v2，Q1＞Q2，q1＞q2 | B． | v1=v2，Q1=Q2，q1=q2 | ||
| C． | v1＜v2，Q1＞Q2，q1=q2 | D． | v1=v2，Q1＜Q2，q1＜q2 |
