题目内容
如图1所示，纸面表示竖直平面，过P点的竖直线MN左侧空间存在水平向右的匀强电场，右侧存在竖直向上的匀强电场，两个电场的电场强度大小相等．一个质量为m、带电量为+q的小球从O点开始以竖直向上的速度v0抛出，恰能水平地通过P点，到达P点时的速度大小仍为v0．从小球到达P点时起，在空间施加一个垂直纸面向外的周期性变化的磁场，磁感应强度随时间变化的图象如图2所示（其中t1、t2为未知的量，t2＜
），同时将P点左侧的电场保持大小不变而方向改为竖直向上，经过一段时间又后，小球恰能竖直向上经过Q点，已知P、Q点处在同一水平面上，间距为L．（重力加速度为g）
（1）求OP间的距离；
（2）如果磁感应强度B0为已知量，试写出t1的表达式；（用题中所给的物理量的符号表示）
（3）如果小球从通过P点后便始终能在电场所在空间做周期性运动，但电场存在理想的右边界M'N'（即M'N'的右侧不存在电场），且Q点到M'N'的距离为
．当小球运动的周期最大时：
a．求此时的磁感应强度B0及小球运动的最大周期T；
b．画出小球运动一个周期的轨迹．
| 2πm |
| qB0 |
（1）求OP间的距离；
（2）如果磁感应强度B0为已知量，试写出t1的表达式；（用题中所给的物理量的符号表示）
（3）如果小球从通过P点后便始终能在电场所在空间做周期性运动，但电场存在理想的右边界M'N'（即M'N'的右侧不存在电场），且Q点到M'N'的距离为
| L |
| π |
a．求此时的磁感应强度B0及小球运动的最大周期T；
b．画出小球运动一个周期的轨迹．
分析：（1）小球由O到P运动过程中，竖直方向做匀减速直线运动，水平方向做匀加速直线运动，用平均速度表示两个分位移，即可求出合位移OP的大小．
（2）小球在OP间运动过程，由牛顿第二定律和运动学规律分析得到电场力qE=mg，则知小球通过P点后，在0～t1时间内沿水平方向做匀速直线运动，在t1～（t1+t2）时间内做匀速率圆周运动．小球恰能竖直向上经过Q点，画出轨迹，可知：t2=
T0，可求出t1的表达式．
（3）小球运动的速率始终不变，当R变大时，T0也增加，在小球不飞出电场的情况下，当小球运动的周期T最大时，图1中圆轨迹右侧恰好跟M'N'相切，画出轨迹，由几何知识求出轨迹的半径，即可求解磁感应强度B0及周期．
（2）小球在OP间运动过程，由牛顿第二定律和运动学规律分析得到电场力qE=mg，则知小球通过P点后，在0～t1时间内沿水平方向做匀速直线运动，在t1～（t1+t2）时间内做匀速率圆周运动．小球恰能竖直向上经过Q点，画出轨迹，可知：t2=
| 3 |
| 4 |
（3）小球运动的速率始终不变，当R变大时，T0也增加，在小球不飞出电场的情况下，当小球运动的周期T最大时，图1中圆轨迹右侧恰好跟M'N'相切，画出轨迹，由几何知识求出轨迹的半径，即可求解磁感应强度B0及周期．
解答：解：（1）小球由O到P运动过程中，竖直方向做匀减速直线运动，水平方向做匀加速直线运动，令运动时间为t，由运动学规律有 t=
水平位移 x=
t=
竖直位移 y=
t=
所求OP间距离s=
=
（2）设电场强度的大小为E，考虑小球在OP间运动过程，由牛顿第二定律和运动学规律竖直方向：0=v0-gt
水平方向：v0=at
a=
可得：qE=mg
上式表明，小球通过P点后，在0～t1时间内沿水平方向做匀速直线运动，在t1～（t1+t2）时间内做匀速率圆周运动．
设小球在磁场中做圆周运动的周期为T0，若竖直向上通过Q点，由图（1）问分析可知必有以下两个条件：
t2=
T0
v0t1-L=R，
其中R为圆周运动的轨道半径．
由牛顿第二定律和圆周运动规律有：qv0B=m
T0=
解得：t1=
+
（3）a．小球运动的速率始终不变，当R变大时，T0也增加，在小球不飞出电场的情况下，当小球运动的周期T最大时，图1中圆轨迹右侧恰好跟M'N'相切，为使小球从通过P点后能做周期性运动，需满足t1=t2．
有：
=2R=2
解得：B0=
而T0=
=
=
可知小球在电场中运动的最大周期：T=8×
=
b．答图如图2所示
答：
（1）OP间的距离是
；
（2）如果磁感应强度B0为已知量，t1的表达式是
+
；
（3）磁感应强度B0是
，小球运动的最大周期T为
；
| v0 |
| g |
水平位移 x=
| v0+0 |
| 2 |
| ||
| 2g |
竖直位移 y=
| 0+v0 |
| 2 |
| ||
| 2g |
所求OP间距离s=
| x2+y2 |
| ||||
| 2g |
（2）设电场强度的大小为E，考虑小球在OP间运动过程，由牛顿第二定律和运动学规律竖直方向：0=v0-gt
水平方向：v0=at
a=
| qE |
| m |
可得：qE=mg
上式表明，小球通过P点后，在0～t1时间内沿水平方向做匀速直线运动，在t1～（t1+t2）时间内做匀速率圆周运动．
设小球在磁场中做圆周运动的周期为T0，若竖直向上通过Q点，由图（1）问分析可知必有以下两个条件：
t2=
| 3 |
| 4 |
v0t1-L=R，
其中R为圆周运动的轨道半径．
由牛顿第二定律和圆周运动规律有：qv0B=m
| ||
| R |
T0=| 2πR |
| v0 |
解得：t1=
| L |
| v0 |
| m |
| qB0 |
（3）a．小球运动的速率始终不变，当R变大时，T0也增加，在小球不飞出电场的情况下，当小球运动的周期T最大时，图1中圆轨迹右侧恰好跟M'N'相切，为使小球从通过P点后能做周期性运动，需满足t1=t2．
有：
| L |
| π |
| mv0 |
| qB0 |
解得：B0=
| 2πmv0 |
| qL |
而T0=
| 2πR |
| v0 |
| 2πm |
| qB0 |
| L |
| v0 |
可知小球在电场中运动的最大周期：T=8×
| 3T0 |
| 4 |
| 6L |
| v0 |
b．答图如图2所示
答：
（1）OP间的距离是
| ||||
| 2g |
（2）如果磁感应强度B0为已知量，t1的表达式是
| L |
| v0 |
| m |
| qB0 |
（3）磁感应强度B0是
| 2πmv0 |
| qL |
| 6L |
| v0 |
点评：本题带电粒子在复合场中运动的问题，小球的受力情况，确定研究方法，在重力与电场和复合场中运用分解法研究，在电场、重力场和磁场的复合场中画出轨迹，运用几何知识是基本方法．
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），同时将P点左侧的电场保持大小不变而方向改为竖直向上，经过一段时间又后，小球恰能竖直向上经过Q点，已知P、Q点处在同一水平面上，间距为L。（重力加速度为g）
。当小球运动的周期最大时：
），同时将P点左侧的电场保持大小不变而方向改为竖直向上，经过一段时间又后，小球恰能竖直向上经过Q点，已知P、Q点处在同一水平面上，间距为L．（重力加速度为g）
．当小球运动的周期最大时：