Question

（2010?安徽）如图1所示，宽度为d的竖直狭长区域内（边界为L₁、L₂），存在垂直纸面向里的匀强磁场和竖直方向上的周期性变化的电场（如图2所示），电场强度的大小为E₀，E＞0表示电场方向竖直向上．t=0时，一带正电、质量为m的微粒从左边界上的N₁点以水平速度v射入该区域，沿直线运动到Q点后，做一次完整的圆周运动，再沿直线运动到右边界上的N2点．Q为线段N₁N₂的中点，重力加速度为g．上述d、E₀、m、v、g为已知量．

（1）求微粒所带电荷量q和磁感应强度B的大小；
（2）求电场变化的周期T；
（3）改变宽度d，使微粒仍能按上述运动过程通过相应宽度的区域，求T的最小值．

Answer 1

分析：根据物体的运动性质结合物理情景确定物体的受力情况．再根据受力分析列出相应等式解决问题．

解答：解：（1）根据题意，微粒做圆周运动，洛伦兹力完全提供向心力，重力与电场力平衡，
则mg=qE₀------_-①
∵微粒水平向右做直线运动，∴竖直方向合力为0．
则 mg+qE₀=qvB-----②
联立①②得：q=

mg

E0

------③B=

2E0

v

--------④
（2）设微粒从N₁运动到Q的时间为t₁，作圆周运动的周期为t₂，
则

d

2

=vt₁-----⑤qvB=m

v2

R

--------⑥2πR=vt₂-----------^_-⑦
联立③④⑤⑥⑦得：t₁=

d

2v

，t₂=

πv

g

--------⑧
电场变化的周期T=t₁+t₂=

d

2v

+

πv

g

-------⑨
（3）若微粒能完成题述的运动过程，要求 d≥2R------⑩
联立③④⑥得：R=

v2

2g

，设N₁Q段直线运动的最短时间t_1min，由⑤⑩得t_1min=

v

2g

，
因t₂不变，T的最小值 T_min=t_1min+t₂=

(2π+1)v

2g

．
答：（1）微粒所带电荷量q为

mg

E0

，磁感应强度B的大小为

2E0

v

．
（2）电场变化的周期T为

d

2v

+

πv

g

．
（3）T的最小值为

(2π+1)v

2g

．

点评：运动与力是紧密联系的，通过运动情况研究物体受力情况是解决问题的一个重要思路．