Question

3．在竖直平面内，一根光滑金属杆弯成如图所示形状，相应的曲线方程为y=5.0cos（kx+$\frac{2π}{3}$）（单位：m），式中k=$\frac{1}{5}$m^-1，杆足够长，图中只画出了一部分．将一质量为m=1.0kg的小环（可视为质点）套在杆上，取g=10m/s²．则（　　）

• A． 小环在杆上运动过程中，受到重力和杆对它的支持力作用，因此小环机械能不守恒
• B． 若小环运动过程中能以一定速度经过P点和Q点，则小环在p点处于超重状态，在Q点处于失重状态
• C． 若使小环以v₁=10m/s的初速度从x=0处沿杆向下运动，则小环在杆上运动区域的x坐标范围为-$\frac{5π}{3}$≤x≤5π
• D． 若小环从x=0处以v₂=5$\sqrt{10}$m/s的速度出发沿杆向下运动，到达轨道最低点P时杆对小环的弹力大小为70N，则小环经过轨道最高点Q时杆对小环的弹力为10N，方向向下

Answer 1

分析 （1）根据机械能守恒的条件判断出是否守恒；
（2）根据物体的加速度的方向判断出是否失重；
（3）先据曲线方程求出小环运动到x=$\frac{5π}{3}$（m）时的高度，再据机械能守恒求出该点的速度．据机械能守恒求出小环运动的最高点，再据曲线方程求出小环在赶上的运动区域即可．
（4）先据机械能守恒和牛顿运动定律求出再低点的曲率半径，再利用机械能守恒和牛顿运动定律求出最高点时与杆的作用力．

解答 解：A、根据机械能守恒的条件可知只有重力做功，小球的机械能守恒．故A错误；
B、若小环运动过程中能以一定速度经过P点和Q点，则小环在p点时向心加速度的方向向上，处于超重状态；在Q点向心加速度的方向向下，处于失重状态；故B正确；
C、据曲线方程可知，当x=0时，y=-2.5m；当x=$\frac{5π}{3}$（m），y=-5m．
由x=0时到x=$\frac{5π}{3}$（m）为研究对象，由机械能守恒定律得：$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$=-mg（5-2.5）+$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
代入数据解得：v=$5\sqrt{6}$
分析可知，小环在曲线上运动机械能守恒，当运动到最高点是速率为零，据机械能守恒定律得：
$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$+mg（-2.5）=mgh[h为最高点到x轴的距离]…①
据曲线方程：h=5.0cos（kx+$\frac{2π}{3}$）…②
联立①②解得：x=5π，所以$-\frac{5π}{3}≤x≤5π$；故C正确；
D、由小环从x=0处到最低点为研究对象，据机械能守恒定律得：$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$+mg（-2.5）=$\frac{1}{2}m{v}_{3}^{2}$-5mg（v₃为最低点的速度）…③
再最低点为研究对象，据牛顿第二定律得：
F-mg=$\frac{m{v}_{3}^{2}}{R}$　（F为最低点时，小环与轨道的弹力）…④
由小环x=0到最高点为研究对象，据机械能守恒定律：$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$+mg（-2.5）=5mg+$\frac{1}{2}m{v}_{4}^{2}$（　v₄为最高点的速度）…⑤
再最高点为研究对象，据牛顿第二定律得：
mg-F₂=$\frac{m{v}_{4}^{2}}{R}$　（F₂为最高点时，小环与轨道的弹力）…④
联立③④⑤⑥解得：F₂=-10N，负号表示方向竖直向下．故D正确．
故选：BCD

点评 本题和数学的上的方程结合起来，根据方程来确定物体的位置，从而利用机械能守恒来解题，题目新颖，是个好题