Question

3．如图所示，AB、CO为互相垂直的丁字形公路，CB为一斜直小路，CB与CO成53°角，CO间距300米，一逃犯骑着电动车以43.2km/h的速度正沿AB公路逃串．当逃犯途径路口O处时，守侯在C处的警察立即以1.2m/s²的加速度启动警车，警车加速度的大小不变，警车所能达到的最大速度为108km/h，（不考虑电动车和警车转向的时间，sin53°=0.8   cos53°=0.6，计算结果保留小数点后面二位）
（1）警察沿COB路径追捕逃犯，则经过多长时间能将逃犯截获？截获地点离O点的距离．
（2）警察沿CB近路到达B处时，逃犯又以原速率掉头向相反方向逃串，警察则继续沿BA方向追捕，则经过多长时间能将逃犯截获？截获地点离O点的距离．

Answer 1

分析 （1）根据速度时间公式求出警车达到最大速度的时间，求出警车达到最大速度时的位移，通过该段时间内电动车的位移得出两车还相距的距离，再根据速度关系，结合运动学公式求出追及的时间，从而得出总时间，求出截获地点离O点的距离．
（2）根据运动学公式求出警察沿CB近路到达B处时，电动车的位移，从而通过几何关系两车相距的距离，结合运动学公式求出追及的时间，从而得出截获地点离O点的距离．

解答 解：（1）警车的最大速度v₁=108km/h=30m/s，电动车的速度v₂=43.2km/h=12m/s，设警车加速的时间为t₁，加速的距离为x₁，
则${t}_{1}=\frac{{v}_{1}}{a}=\frac{30}{1.2}s=25s$，
${x}_{1}=\frac{{v}_{1}}{2}{t}_{1}=\frac{30}{2}×25m=375m$．
这段时间内电动车运动的距离为x₂=v₂t₁=12×25m=300m．
此时两车在OB方向相距△x=x₂-（x₁-300）m=225m，
此后两车匀速运动直至相遇，设再用时间t₂，则${t}_{2}=\frac{△x}{{v}_{1}-{v}_{2}}=\frac{225}{30-12}s$=12.5s，
所以警车追上电动车总共用时t_总=t₁+t₂=25+12.5s=37.5s．
此时到O点的距离x=v₂t_总=12×37.5m=450m．
（2）设警车从C到B用时为t′，
综合上述结论得，$t′={t}_{1}+\frac{\frac{300}{cos53°}-{x}_{1}}{{v}_{1}}=25+\frac{\frac{300}{0.6}-375}{30}$s=$\frac{175}{6}s$，
这段时间内电动车运动的距离$x′={v}_{2}t′=12×\frac{175}{6}m=350m$，
此刻两车相距△x′=300×tan53°-x′=$300×\frac{4}{3}-350$m=50m，
此后电动车立即反向，两车沿BO反向匀速运动，再用时间为t″，
则$t″=\frac{△x′}{{v}_{1}-{v}_{2}}=\frac{50}{30-12}=\frac{25}{9}$s，
所以警车追上电动车总共用时${t}_{总}=t′+t″=\frac{175}{6}+\frac{25}{9}s≈31.94s$．
此时到O点的距离为x=$x′-{v}_{2}t″=350-12×\frac{25}{9}$m=316.67m．
答：（1）警察沿COB路径追捕逃犯，则经过37.5s时间能将逃犯截获，截获地点离O点的距离为450m．
（2）经过31.94s时间能将逃犯截获，截获地点离O点的距离为316.67m．

点评 解决本题的关键分析清楚警车和电动车在整个过程中的运动规律，抓住运动路程的关系，结合运动学公式灵活求解，难度中等．