Question

17．当金属的温度升高到一定程度时就会向四周发射电子，这种电子叫热电子，通常情况下，热电子的初始速度可以忽略不计．如图所示，相距为L的两块平行金属板M、N接在输出电压恒为U的高压电源E₂上，M、N之间的电场近似为匀强电场，a、b、c、d是匀强电场中四个均匀分布的等势面，K是与M板距离很近的灯丝，电源E₁给K加热从而产生热电子．电源接通后，电流表的示数稳定为I，已知电子的质量为m、电量为e．求：
（1）电子达到N板瞬间的速度；
（2）电子从灯丝K出发达到N板所经历的时间；
（3）电路稳定的某时刻，M、N之间运动的热电子的总动能；
（4）电路稳定的某时刻，c、d两个等势面之间具有的电子数．

Answer 1

分析 （1）根据动能定理求出电子到达N板瞬间的速度大小．
（2）通过牛顿第二定律和运动学公式求出电子从灯丝K出发达到N板所经历的时间．
（3）在M、N之间运动的热电子的总动能应等于t时间内电流做功的$\frac{1}{2}$，结合功能关系求出电路稳定的某时刻，M、N之间运动的热电子的总动能；
（4）分别求出电子从灯丝出发达到c和d的时间，从而结合n=$\frac{{I（{t_d}-{t_c}）}}{e}$求出电路稳定的某时刻，c、d两个等势面之间具有的电子数．

解答 解：（1）动能定理：$eU=\frac{1}{2}m{v}_N^2-0$，
解出${{v}_N}=\sqrt{\frac{2eU}{m}}$                                                     
（2）牛顿定律：e$\frac{U}{L}$=ma，
解出$a=\frac{eU}{mL}$
由$L=\frac{1}{2}a{t^2}$
得：$t=\sqrt{\frac{2L}{a}}=\sqrt{\frac{2L}{{\frac{eU}{mL}}}}=L\sqrt{\frac{2m}{eU}}$
（3）根据功能关系，在M、N之间运动的热电子的总动能应等于t时间内电流做功的$\frac{1}{2}$，即E_k总=$\frac{1}{2}$UIt=$\frac{1}{2}$UI（$L\sqrt{\frac{2m}{eU}}$）=IL$\sqrt{\frac{mU}{2e}}$
（4）电子从灯丝出发达到c所经历的时间${t}_{C}=\sqrt{\frac{2×\frac{3L}{5}}{a}}=\sqrt{\frac{2×\frac{3L}{5}}{\frac{eU}{mL}}}=L\sqrt{\frac{6m}{5eU}}$
电子从灯丝出发达到d所经历的时间${t}_{d}=\sqrt{\frac{2×\frac{4L}{5}}{a}}=\sqrt{\frac{2×\frac{4L}{5}}{\frac{eU}{mL}}}=L\sqrt{\frac{8m}{5eU}}$．
c、d两个等势面之间的电子数n=$\frac{{I（{t_d}-{t_c}）}}{e}$，
将时间t_d和t_c代入，求出：n=$（2-\sqrt{3}）\frac{I•L}{e}\sqrt{\frac{2m}{5eU}}$
答：（1）电子达到N板瞬间的速度为$\sqrt{\frac{2eU}{m}}$；
（2）电子从灯丝K出发达到N板所经历的时间为$L\sqrt{\frac{2m}{eU}}$；
（3）电路稳定的某时刻，M、N之间运动的热电子的总动能为IL$\sqrt{\frac{mU}{2e}}$；
（4）电路稳定的某时刻，c、d两个等势面之间具有的电子数为n$（2-\sqrt{3}）\frac{I•L}{e}\sqrt{\frac{2m}{5eU}}$．

点评 本题考查了动能定理、牛顿第二定律和运动学公式的综合运用，关键要正确建立物理模型，依据相关物理规律求解．