Question

10．如图所示，MN与PQ分别为上下正对着的半圆的直径，其间距为d=5cm，MN=PQ=40$\sqrt{2}$cm，匀强电场E=2.5×10³N/C，方向向下，上下两个半圆形匀强磁场方向均垂直于纸面向外，磁感应强度大小分别为B₁=0.2T，B₂=0.5T；一比荷为q/m=2×10⁶C/kg的带正电的粒子（不计重力）从MN中点O以速率v₀=2×10⁴m/s垂直于MN进入磁场B₁，求：
（1）粒子从O点进入磁场B₁到第一次离开磁场B₁所用的时间；
（2）粒子第一次进入磁场B₂做圆周运动的半径；
（3）粒子从O点进入磁场B₁到最终离开磁场区域所经历的总时间．

Answer 1

分析 （1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据T=$\frac{2πm}{qB}$求得周期，即可求得时间；
（2）根据动能定理求得进入磁场B₂速度，利用$qvB=\frac{m{v}^{2}}{r}$求得半径；
（3）打到P点的能量最大的离子加速次数最大；在电场向上中是匀加速全程根据动量定理求解时间；

解答 解：（1）粒子在磁场B₁运动的周期${T}_{1}=\frac{2πm}{q{B}_{1}}=5π×1{0}^{-6}s$
所以从进入磁场B₁到第一次离开磁场B₁所用时间：${t}_{1}=\frac{1}{2}{T}_{1}=2.5π×1{0}^{-6}s$
（2）粒子第一次进入磁场B₂速度为v，由电场加速有：$qEd=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}{mv}_{0}^{2}$
解得v=3×10⁴m/s
粒子在磁场B₂中运动的半径：${r}_{2}=\frac{mv}{q{B}_{2}}=3cm$
（3）粒子在磁场B₁运动的半径：${r}_{1}=\frac{m{v}_{0}}{q{B}_{1}}=5cm$
粒子在磁场B₂运动的周期：${T}_{2}=\frac{2πm}{q{B}_{2}}=2π×1{0}^{-6}s$
设粒子每次通过电场区域时间为t₀，由$d=\frac{1}{2}（{v}_{0}+v）{t}_{0}$
可得：${t}_{0}=2×1{0}^{-6}s$
粒子从O点出发，每一个周期向右移动2r₁-2r₂=4cm；
经过7个周期后再经过一段圆弧离开磁场区域，设这段圆弧的圆心角为θ由几何关系：$cosθ=\frac{2{5}^{2}+{5}^{2}-（20\sqrt{2}）^{2}}{2×25×5}=-\frac{3}{5}$
所以：θ=127⁰；
因此粒子运动的总时间：t总=7（$\frac{{T}_{1}}{2}+{t}_{0}+\frac{{T}_{2}}{2}+{t}_{0}$）$+\frac{127}{360}{T}_{1}$=（$\frac{1764}{72}π+28$）×10^-6s
答：（1）粒子从O点进入磁场B₁到第一次离开磁场B₁所用的时间为5π×10^-6s；
（2）粒子第一次进入磁场B₂做圆周运动的半径3cm；
（3）粒子从O点进入磁场B₁到最终离开磁场区域所经历的总时间为（$\frac{1764}{72}π+28$）×10^-6s

点评 本题是回旋加速器的改进，电场方向不需要周期性改变，关键是明确粒子的运动规律，然后结合牛顿第二定律和运动学公式列式求解