Question

17．如图所示，质量m=0.5kg的小物块从A点沿竖直光滑的$\frac{1}{4}$圆弧轨道，以v_A=2m/s的初速度滑下，圆弧轨道的半径R=0.25m，末端B点与水平传送带相切，物块由B点滑上粗糙的传送带．当传送带静止时，物块滑到传送带的末端C点后做平抛运动，落到水平地面上的D点，已知C点到地面的高度h=5m，C点到D点的水平距离x₁=1m，取g=10m/s²．求：
（1）物块滑到圆弧轨道底端时对轨道的压力；
（2）物块与传送带之间产生的内能；
（3）若传送带顺时针匀速转动，则物块最后的落地点可能不在D点，试讨论物块落地点到C点的水平距离x与传送带匀速运动的速度v的关系．

Answer 1

分析 （1）从A到B，由动能定理即可求得B点速度，再根据向心力等于轨道对物块支持力与物块重力之差，求出轨道对物块支持力，也就是物块滑到圆弧轨道底端时对轨道的压力；
（2）从C到D做平抛运动，可以求出C点的速度，根据从B到C能量守恒，可以求出物块与传送带之间产生的内能；
（3）根据传送带速度的大小分类，分析物体的运动情况，根据运动学基本公式求解．

解答 解：（1）从A到B，由动能定理得：
mgR=$\frac{1}{2}$mv_B²$-\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$，
代入数据解得：v_B=3m/s
对物块在B点受力分析，由牛顿第二定律可得：
${F}_{N}-mg=m\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
代入数据解得：
F_N=23N
由牛顿第三定律可知：物块滑到圆弧轨道底端时对轨道的压力等于轨道对物块支持力为：F_N=23N；
（2）物块从C运动到D，做平抛运动
则竖直方向：$h=\frac{1}{2}g{t}^{2}$
水平方向：x₁=v_Ct
解得：v_C=1m/s
物块从B运动到C能量守恒得：
${W}_{f}+\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}=\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
代入数据解得：W_f=2J；
（3）若传动带顺时针转动：
①当0＜v≤1m/s时，物块到达C点的速度为1m/s，则物块还是落在D点，x=x₁=1m
②当1m/s＜v≤3m/s时，物块到达C点的速度为v，则物块水平距离x=vt=v
③当v＞3m/s时，物块到达C点的速度为v_B，则物块水平距离x=v_Bt=3m
答：（1）物块滑到圆弧轨道底端时对轨道的压力为23N；
（2）物块与传送带之间产生的内能为2J；
（3）①当0＜v≤1m/s时，x=x₁=1m；
②当1m/s＜v≤3m/s时，x=vt=v；
③当v＞3m/s时，x=v_Bt=3m．

点评 本题主要考查了动能定理、平抛运动的基本规律，运动学基本公式的应用，要注意传动带顺时针转动时，要分析物体的运动情况，再根据运动学基本公式求解．