Question

16．如图a，轨道固定在竖直平面内，水平段的DE光滑、EF粗糙，EF段有一竖直挡板，ABCD光滑并与水平段平滑连接，ABC是以O为圆心的圆弧，B为圆弧最高点．物块P₂静止于E处，物块P₁从D点开始水平向右运动并与P₂发生碰撞，且碰撞时间极短．
已知：P₁的质量m₁=0.5kg，碰撞前后的位移图象如图b；P₂的质量m₂=1.8kg，与EF轨道之间的动摩擦因数μ=$\frac{5}{6}$，与挡板碰撞时无机械能损失；圆弧半径为R=$\frac{5}{12}$m； P₁、P₂可视为质点且运动紧贴轨道；取g=10m/s²．

（1）求P₂被碰后获得的速度大小
（2）P₁经过B时受到的支持力大小
（3）用L表示挡板与E的水平距离．若P₂最终停在了EF段距离E为X的某处，试通过分析与计算，在图c中作出X-L图线．

Answer 1

分析 （1）由题图可求得对应的初速度，再由动量守恒定律可求得速度；
（2）由机械能守恒可求得P₁到达B点时的速度，再由向心力公式可求得支持力；
（3）由题意明确相碰的条件，再通过分情况计论得出对应的图象．

解答 解：（1）根据s-t图象可知：P₁的初速度为  v₀=$\frac{1.5}{0.1}$=15m/s；①
碰后速度为     v₁=-3m/s②
设P₂被碰后获得的速度为v₂，有动量守恒：m₁v₀=m₁v₁+m₂v₂③
①②式并代入数据，得：v₂=5m/s④

（2）设P₁到B时的速度为v_B，机械能守恒，有：$\frac{1}{2}{m_1}v_1^2=\frac{1}{2}{m_1}v_B^2+{m_1}gR$⑤
设P₁通过B时轨道对它的支持力大小为F，有：${m_1}g-F=\frac{{{m_1}v_B^2}}{R}$⑥
由③④⑤式并代入数据，得：F=4.2N⑦

（3）P₂与挡板碰后能停在EF段的条件是，P₂不会从弯曲轨道飞出，设此时挡板距E的距离为L₁，即：$\frac{1}{2}{m_2}v_2^2-μ{m_2}g•2{L_1}＜{m_2}gR$⑧
设挡板距E的距离为L₁时，P₂与挡板能碰N次，此时满足：$\frac{1}{2}{m_2}v_2^2＞μ{m_2}g•（2\right.N-\left.1）{L_1}$⑨
⑧、⑨解得：L₁＞0.5m；    N＜2
由此可知，P₂最终停在EF段的条件是：L≥0.5m；而且P₂与挡板最多只碰一次⑩
（或者：由于$\frac{1}{2}{m_2}v_2^2≤3μ{m_2}g•{L_1}$，所以最多与挡板只碰一次）
分情况讨论如下：
（i）若P₂与挡板没发生碰撞就已停下来，即：L≥X
功能关系，有：$\frac{1}{2}{m_2}v_2^2-μ{m_2}gX=0$（11）
代入数据得：X=1.5m，
即：当L≥1.5m时，X=1.5m（12）
（ii）若P₂与挡板碰一次，且返回时未能到达E点，即：L＜2L-X≤2L
功能关系，有：$\frac{1}{2}{m_2}v_2^2-μ{m_2}g（2L-X）=0$（13）
代入数据得：X=2L-1.5，
即当0.75m≤L＜1.5m时，X=2L-1.5（14）
（ii）若P₂与挡板碰一次，返回时过E点，经曲面后又再次进入EF段，即：2L≤2L+X≤3L功能关系，有：$\frac{1}{2}{m_2}v_2^2-μ{m_2}g（2L+X）=0$（15）
代入数据得：X=1.5-2L
即0.5m≤L≤0.75m时，X=1.5-2L（16）
S-L图线如图
答：（1）P₂被碰后获得的速度大小为5m/s；
（2）P₁经过B时受到的支持力大小为4.2N；
（3）X-L图线如图所示．

点评 本题考查动量守恒、机械能守恒等物理规律的应用，在解题中要注意认真分析物理过程，明确可能出现的情况，要学会对物体进行全面分析讨论．