Question

16．如图所示，在水平轨道右侧固定半径为R的竖直圆槽形光滑轨道，水平轨道的PQ段铺设特殊材料，调节其初始长度为l，水平轨道左侧有一轻质弹簧左端固定，弹簧处于自然伸长状态．可视为质点的小物块从轨道右侧A点以初速度v₀冲上轨道，通过圆形轨道、水平轨道后压缩弹簧，并被弹簧以原速率弹回．已知R=0.4m，l=2.5m，v₀=6m/s，物块质量m=1kg，与PQ段间的动摩擦因数μ=0.4，轨道其它部分摩擦不计．取g=10m/s²．
（1）求弹簧获得的最大弹性势能；
（2）改变v₀，为使小物块能到达或经过PQ段，且经过圆轨道时不脱离轨道，求v₀取值范围．

Answer 1

分析 （1）小物块由A点到弹簧第一次压缩到最短的过程中，由功能关系求解弹簧获得的最大弹性势能；
（2）若物块恰好到达B点，根据牛顿第二定律以及机械能守恒求出v₀的范围，若物块恰好返回至圆轨道与圆心等高位置，由功能关系求出v₀的范围．

解答 解：（1）小物块由A点到弹簧第一次压缩到最短的过程中，由功能关系得：$\frac{1}{2}mv_0^2=μmgl+{E_{pm}}$…①
代入数据解得：E_pm=8J…②
（2）若物块恰好到达B点，由牛顿运动定律得：$mg=\frac{mv_B^2}{R}$…③
小物块由A点到B点，由机械能守恒得：$\frac{1}{2}mv_{01}^2=mg•2R+\frac{1}{2}mv_B^2$…④
由③④式得：${v_{01}}=2\sqrt{5}m/s$
所以${v_{01}}≥2\sqrt{5}m/s$…⑤
若物块恰好返回至圆轨道与圆心等高位置，由功能关系得：$\frac{1}{2}mv_{02}^2=2μmgl+mgR$…⑥
得：${v_{02}}=4\sqrt{3}m/s$…⑦
故既要通过B点，又要返回时不超过与圆心等高位置，v₀应满足：$2\sqrt{5}m/s≤{v_0}≤4\sqrt{3}m/s$…⑧
若物块恰好返回至B点，由功能关系得：$\frac{1}{2}mv_{03}^2=2μmgl+mg•2R+\frac{1}{2}mv_B^2$…⑨
得：${v_{03}}=2\sqrt{15}m/s$
所以${v_{03}}≥2\sqrt{15}m/s$
故v₀取值范围是${v_0}≥2\sqrt{15}m/s$或 $2\sqrt{5}m/s≤{v_0}≤4\sqrt{3}m/s$
答：（1）弹簧获得的最大弹性势能为8J；
（2）v₀取值范围为${v_0}≥2\sqrt{15}m/s$或 $2\sqrt{5}m/s≤{v_0}≤4\sqrt{3}m/s$．

点评 本题综合考查了动能定理、牛顿第二定律，以及知道小球不脱离圆轨道的条件，综合性较强，对学生的能力要求较高，需加强训练，难度适中．