Question

17．如图是离心轨道演示仪结构示意图．光滑弧形轨道下端与半径为R的光滑圆轨道相接，整个轨道位于竖直平面内．质量为m的小球从弧形轨道上的A点由静止滑下，进入圆轨道后沿圆轨道运动，最后离开圆轨道．小球运动到圆轨道的最高点时，对轨道的压力恰好与它所受到的重力大小相等．重力加速度为g，不计空气阻力．求：
（1）小球运动到圆轨道的最高点时速度的大小；
（2）小球开始下滑的初始位置A点距水平面的竖直高度h．
（3）现改变小球由静止释放的高度，当新的高度h′为多少时小球恰能通过圆轨道的最高点．

Answer 1

分析 （1）小球做圆周运动，应用牛顿第二定律可以求出小球通过最高点的速度．
（2）应用动能定理可以求出A点的高度h．
（3）小球恰能通过圆轨道的最高点时，由重力提供向心力，由牛顿第二定律求出最高点的速度，再由动能定理求h′．

解答 解：（1）小球做圆周运动，在圆轨道的最高点时，由牛顿第二定律得：
  N+mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
且N=mg
解得：v=$\sqrt{2gR}$；
（2）小球从A运动到圆轨道最高点过程中，由动能定理得：
  mg（h-2R）=$\frac{1}{2}$mv²-0，
解得：h=3R；
（3）小球恰能通过圆轨道的最高点时，由重力提供向心力，则 mg=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
可得 v₀=$\sqrt{gR}$
根据动能定理得：
   mg（h′-2R）=$\frac{1}{2}$mv₀²-0，
解得 h′=2.5R
答：
（1）小球运动到圆轨道的最高点时速度的大小为$\sqrt{2gR}$；
（2）小球开始下滑的初始位置A点距水平面的竖直高度h为3R．
（3）当新的高度h′为2.5R时小球恰能通过圆轨道的最高点．

点评 本题考查了求小球的速度、释放点的高度，要分析清楚运动过程，应用牛顿第二定律与动能定理可以正确解题．