Question

1951年，物理学家发现了“电子偶素”，所谓“电子偶素”，就是由一个负电子和一个正电子绕它们的质量中心旋转形成的相对稳定的系统．已知正、负电子的质量均为m_e，普朗克常量为h，静电力常量为k．

（1）若正、负电子是由一个光子和核场相互作用产生的，且相互作用过程中核场不提供能量，则此光子的频率必须大于某个临界值，此临界值为多大?

（2）假设“电子偶数”中正、负电子绕它们质量中心做匀速圆周运动的轨道半径r、运动速度v及电子的质量满足玻尔的轨道量子化理论：2m_evr＝n（h/2π），n＝1，2……“电子偶素”的能量为正负电子运动的动能和系统的电势能之和，已知两正负电子相距为L时系统的电势能为E＝－k（e²/L），试求n＝１时“电子偶素”的能量。

（3）“电子偶素”由第一激发态跃迁到基态发出光子的波长为多大? 

Answer 1

解：（1）设光子频率的临界值为ν₀，则有

　　　?ｈν₀＝２ｍ_ｅｃ²，　ν₀＝（２ｍ_ｅｃ²）/ｈ．　　　　　①

（2）由于正、负电子质量相等，故两电子的轨道半径相等，设为ｒ，则正负电子间距为２ｒ，速度均为ｖ，则有

　　　　（ｋｅ²）/（4ｒ²）＝ｍ_ｅ（ν²/ｒ），　　　　　　　②

依题意，有　　　2ｍ_ｅｖｒ＝ｎｈ/（2π），　　　　　　　　　③

而电子偶数能量

　　Ｅ_n＝２×（１/２）ｍ_ｅｖ²－（ｋｅ²）/（２ｒ），　　　　④

由②③④式联立得

　　Ｅ_n＝－（ｍ_ｅｋ²π²ｅ⁴）/（ｈ²ｎ²），ｎ＝１，２……　　　　⑤

取ｎ＝１可得电子偶数基态能量为

　　　　Ｅ₁＝－（ｍ_ｅｋ²π²ｅ⁴）/（ｈ²）．

（3）由⑤式可得电子偶数处于第一激发态时的能量为Ｅ₂＝（１/４）Ｅ₁，即ｎ＝２，与Ｅ_n＝Ｅ₁/ｎ²相同．设电子偶数从第一激发态跃迁到基态时发出光子的波长为λ，则

　　　　Ｅ₂－Ｅ₁＝ｈｃ/λ，

由由以上各式解得　　　λ＝（４ｈ³ｃ）/（３ｍ_ｅｋ²π²ｅ⁴）．