Question

14．腾讯太空2016年4月5日讯，据英国每日邮报报道，天文学家目前最新发现一颗奇特的三星系统热木星，三星系统有两种方式构成，一种方式是质量相等的三颗星构成一个边长为a的等边三角形，每颗星围绕等边三角形的中心做匀速圆周运动，其运动周期为T₁；另一种方式质量相等的三颗星等间距分布在一条直线上，若相邻两颗星的距离为a，而中间的星刚好不动，运动周期为T₂，则T₁：T₂为（　　）

• A． 5：2
• B． 5：3
• C． $\sqrt{5}$：2$\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{5}$：$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 先写出任意两个星星之间的万有引力，求每一颗星星受到的合力，该合力提供它们的向心力．然后用R表达出它们的轨道半径，最后写出用周期和线速度表达的向心力的公式，整理即可的出结果．

解答 解：对第一种的情况，由几何关系知：它们的轨道半径r=$\frac{\sqrt{3}}{3}a$．
任意两个星星之间的万有引力F=$\frac{Gmm}{{a}^{2}}$，
每一颗星星受到的合力，F₁=$\sqrt{3}F$
合力提供它们的向心力：$\frac{\sqrt{3}Gmm}{{a}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}r}{{T}_{1}^{2}}$
解得T₁=$2πa\sqrt{\frac{a}{3Gm}}$；
对第二种情况，相邻的两颗星星之间的万有引力：F=$\frac{Gmm}{{a}^{2}}$
较远的两颗星之间的万有引力：$F′=\frac{Gmm}{（2a）^{2}}$
两侧的星星受到的合力：${F}_{2}=F+F′=\frac{5Gmm}{{4a}^{2}}$
合力提供它们的向心力：$\frac{5Gmm}{4{a}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}a}{{T}_{2}^{2}}$
解得T₂=$4πa\sqrt{\frac{a}{5Gm}}$
所以：$\frac{{T}_{1}}{{T}_{2}}=\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{3}}$故ABD错误，C正确
故选：C

点评 解决该题首先要理解模型所提供的情景，然后能够列出合力提供向心力的公式，才能正确解答题目．